Rätseln mit Eder: Ist der Satz allgemein gültig?
Marie hat an einigen Beispielen folgende Gemeinsamkeit festgestellt:
Bildet man das Produkt aus vier aufeinander folgenden natürlichen Zahlen und erhöht das Ergebnis um 1, dann ist dieser Wert eine Quadratzahl.
Beispiel: 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 + 1 = 361 = 192
Ist dieser Satz allgemein gültig?
Der Satz ist allgemein gültig.
Die vier aufeinander folgenden Zahlen seien n, (n + 1), (n + 2) und (n + 3).
Das Produkt dieser vier Zahlen lautet: n ∙ (n + 1) ∙ (n + 2) ∙ (n + 3).
Nach Auflösen der Klammern erhält man den vereinfachten Summenterm:
n ∙ (n + 1) ∙ (n + 2) ∙ (n + 3)
= (n2 + n) ∙ (n2 + 5n + 6)
= n4 + 5n3 + 6n2 + n3 + 5n2 + 6n
= n4 + 6n3 + 11n2 + 6n
Addiert man zu diesem Term die 1, lautet die Summe n4 + 6n3 + 11 n2 + 6n + 1.
Um die Allgemeingültigkeit des Satzes zu beweisen, muss dieser Summenterm in einen quadratischen Term umgeformt werden.
n4 + 6n3 + 11 n2 + 6n + 1 ǀ Faktorisierung des Summenterms führt zum Ziel
⟺ (n2 + 3n + 1) ∙ (n2 + 3n + 1) = (n2 + 3n + 1)2
Tatsächlich ist der Summenterm äquivalent zu dem quadratischen Term (n2 + 3n + 1)2.
(n2 + 3n + 1)2 = n4 + 6n3 + 11 n2 + 6n + 1
Der Beweis ist erbracht, der Satz ist also allgemein gültig.
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