Angenommen, man kann ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken A, B und C so wie gefordert auf das Schachbrett legen. Wir legen nun ein Koordinatensystem, dessen Achsen parallel zu den Feldseiten des Schachbretts verlaufen, mit dem Ursprung auf die Ecke C. Die Ecken A und B haben nun die Koordinaten A_x, A_y, B_x und B_y. Haben die Schachbrettfelder die Seitenlänge 1, sind diese Koordinaten ganze Zahlen. Nach dem Satz des Pythagoras gelten für die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks a² = A_x² + A_y², a² = B_x² + B_y² und a² = (A_x – B_x)² + (A_y – B_y)². Die dritte Gleichung kann man zu a² = (A_x² + A_y²) + (B_x² + B_y²) – 2(A_xB_x + A_yB_y) umformen. Setzt man hier nun noch die beiden ersten Gleichungen ein, erhält man a² = 2(A_xB_x + A_yB_y) oder a⁴ = 4(A_xB_x + A_yB_y)². Man erhält aber a⁴ auch, indem man die beiden ersten Gleichungen miteinander multipliziert: a⁴ = 4(A_xB_x + A_yB_y)² = (A_x² + A_y²)(B_x² + B_y²). Dies kann man zu 3((A_xB_x)² + 2A_xB_xA_yB_y + (A_yB_y)²) = (A_xB_y)² – 2A_xB_yA_yB_x + (A_yB_x)² oder 3(A_xB_x + A_yB_y)² = (A_xB_y – A_yB_x)² umformen. In einer Quadratzahl kann der Primfaktor 3 nur geradzahlig häufig vorkommen. Darum kann das Dreifache einer Quadratzahl keine größere Quadratzahl sein. Folglich lässt sich kein gleichseitiges Dreieck so auf ein Schachbrett legen, dass seine drei Ecken mit Feldecken zusammenfallen.