Hemmes mathematische Rätsel: Ist diese Anordnung eines Dreiecks auf einem Schachbrett möglich?
Die arithmetische Geometrie ist ein aktuelles Forschungsgebiet in der Mathematik. Es geht dabei um zahlentheoretische Fragen in einem geometrischen Kontext. Die heutige Kopfnuss, die Aloys Krieg aus Aachen gestellt hat, geht auf die Ursprünge dieses Gebiets zurück.
Das gleichschenklige Dreieck in dem Bild liegt mit seinen drei Ecken auf Ecken der Felder eines Schachbretts. Kann man auch ein gleichseitiges Dreieck so auf ein Schachbrett legen, dass seine drei Ecken auf Feldecken fallen? Dabei ist das Schachbrett nicht auf 8 × 8 Felder beschränkt, sondern darf beliebig viele Felder groß sein.
Angenommen, man kann ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken A, B und C so wie gefordert auf das Schachbrett legen. Wir legen nun ein Koordinatensystem, dessen Achsen parallel zu den Feldseiten des Schachbretts verlaufen, mit dem Ursprung auf die Ecke C. Die Ecken A und B haben nun die Koordinaten Ax, Ay, Bx und By. Haben die Schachbrettfelder die Seitenlänge 1, sind diese Koordinaten ganze Zahlen. Nach dem Satz des Pythagoras gelten für die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks a2 = Ax2 + Ay2, a2 = Bx2 + By2 und a2 = (Ax – Bx)2 + (Ay – By)2. Die dritte Gleichung kann man zu a2 = (Ax2 + Ay2) + (Bx2 + By2) – 2(AxBx + AyBy) umformen. Setzt man hier nun noch die beiden ersten Gleichungen ein, erhält man a2 = 2(AxBx + AyBy) oder a4 = 4(AxBx + AyBy)2. Man erhält aber a4 auch, indem man die beiden ersten Gleichungen miteinander multipliziert: a4 = 4(AxBx + AyBy)2 = (Ax2 + Ay2)(Bx2 + By2). Dies kann man zu 3((AxBx)2 + 2AxBxAyBy + (AyBy)2) = (AxBy)2 – 2AxByAyBx + (AyBx)2 oder 3(AxBx + AyBy)2 = (AxBy – AyBx)2 umformen. In einer Quadratzahl kann der Primfaktor 3 nur geradzahlig häufig vorkommen. Darum kann das Dreifache einer Quadratzahl keine größere Quadratzahl sein. Folglich lässt sich kein gleichseitiges Dreieck so auf ein Schachbrett legen, dass seine drei Ecken mit Feldecken zusammenfallen.
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