Sind p und q die beiden gesuchten Primzahlen, wobei p ≤ q sein soll, muss q – p = m² und q + p = n² gelten. Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, erhält man 2p = n² – m² oder p = (n² – m²)/2. Damit die rechte Gleichungsseite ganzzahlig ist, müssen n und m entweder beide gerade oder beide ungerade sein. Im ersten Fall gilt n = 2j und m = 2i, woraus sich die gerade Zahl p = (4j² – 4i²)/2 = 2(j² – i²) ergibt. Im zweiten Fall gilt n = 2j – 1 und m = 2i – 1, woraus wiederum eine gerade Zahl p = ((2j – 1)² – (2i – 1)²)/2 = 2(j² – j – i² + i) folgt. Addiert man die beiden Ausgangsgleichungen, bekommt man 2q = n² + m², woraus sich ganz analog ergibt, dass auch q eine gerade Zahl sein muss. Da 2 die einzige gerade Primzahl ist, muss p = q = 2 sein, woraus als einzige Lösung 2 – 2 = 0² und 2 + 2 = 2² folgt.