Hemmes mathematische Rätsel: Kann die Aufgabe umgesetzt werden?
Ist es möglich, so 17 Felder eines Schachbretts rot zu färben, dass anschließend jedes rote Feld eine ungerade Zahl von Nachbarn hat? Dabei gelten zwei Felder als benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seite haben.
Sind n0, n1, n2, n3 und n4 die Zahlen der roten Felder mit 0, 1, 2, 3 und 4 roten Nachbarn, so gibt es N = 1/2(0n0 + 1n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4) Seiten, an denen zwei rote Felder zusammenstoßen. Der Faktor 1/2 ist notwendig, da jede Seite zu zwei Feldern gehört. Die Gleichung lässt sich zu N = 1/2(n1 + n3) + n2 + n3 + 2n4 umformen. Da N eine ganze Zahl ist, muss n1 + n3 gerade sein. Folglich ist die Zahl der roten Felder mit einer ungeraden Zahl von roten Nachbarn gerade. Damit ist es unmöglich, 17 Felder eines Schachbretts so rot zu färben, dass anschließend jedes rote Feld eine ungerade Zahl von Nachbarn hat.
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