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Hemmes mathematische Rätsel: Kann man n! auch anders aufsteigend faktorisieren?

Gibt es Zahlen n, deren Fakultät sich als Produkt von weniger als (n-1) aufsteigenden Zahlen darstellen lässt?
Schwarze Zahlen auf weißem Hintergrund

Im Januar 1968 erschien die erste Ausgabe der Zeitschrift »Journal of Recreational Mathematics«, die sich ausschließlich mit der Unterhaltungsmathematik befasst. Das heutige Rätsel erschien im Juli 1970.

Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n. In mathematischer Schreibweise wird die Fakultät einer Zahl durch ein Ausrufezeichen hinter der Zahl dargestellt. Beispielsweise hat die Fakultät von 5 den Wert 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

Gibt es Zahlen, deren Fakultät n! sich als Produkt von weniger als n − 1 direkt aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ausdrücken lässt?

Die Fakultät jeder Zahl n, die größer ist als 1 und die die Form n = m! − 1 hat, kann als Produkt von weniger als n − 1 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen geschrieben werden.

Der Grund dafür ist, dass die ersten m Faktoren von n! den Wert m! haben, und dass m! die Zahl ist, die auf n = m! − 1 folgt:
n! = 1 · 2 · 3 · … · m · (m + 1) · (m + 2) · … · (m! − 1).

Das bedeutet, n! ist auch das Produkt der n + 1 − m aufeinanderfolgenden Zahlen von m + 1 bis m!. Also:
n! = (m + 1) · (m + 2) · (m + 3) · … · (m! − 1) · m!.

Beispielweise erhält man für m = 3 die Zahl n = 3! − 1 = 5, deren Fakultät sich auch als 5! = 4 · 5 · 6 darstellen lässt.

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