Der gesuchte Mittelpunkt liegt auf der Ellipse, die den festen Punkt und den Mittelpunkt des großen Kreises als Brennpunkte und dessen Radius als große Achse hat. Denn die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist, ist eine Ellipse, und die beiden festen Punkte heißen deren Brennpunkte.

Der Beweis folgt aus den eingezeichneten Hilfslinien. Obendrein ist die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks stets die jeweilige Tangente der Ellipse, woraus die Spiegeleigenschaft der Ellipse im Sinne der Strahlenoptik folgt: Ein Strahl von einem Brennpunkt wird von ihr stets zum anderen Brennpunkt reflektiert, denn nach Konstruktion ist an jedem Punkt der Ellipse Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (beide zu messen gegen das "Einfallslot", das heißt die Senkrechte auf die Tangente im Berührpunkt). Erweitert man die Ellipse in die 3. Dimension (zum elliptischen Zylinder oder Rotations-Ellipsoid), so findet dieses in Akustik oder Wellenoptik Anwendungen ("Flüstergewölbe").

Auch Hyperbeln und Parabeln lassen sich ähnlich erzeugen.