Direkt zum Inhalt

Kreis im Kreis

Treitz-Rätsel

In einen Kreis (den "großen Kreis") soll ein weiterer Kreis gezeichnet werden, der den großen Kreis von innen und außerdem einen festen Punkt im Inneren des großen Kreises berührt. Was kann man über den Mittelpunkt des inneren Kreises sagen?

Der gesuchte Mittelpunkt liegt auf der Ellipse, die den festen Punkt und den Mittelpunkt des großen Kreises als Brennpunkte und dessen Radius als große Achse hat. Denn die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist, ist eine Ellipse, und die beiden festen Punkte heißen deren Brennpunkte.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Der Beweis folgt aus den eingezeichneten Hilfslinien. Obendrein ist die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks stets die jeweilige Tangente der Ellipse, woraus die Spiegeleigenschaft der Ellipse im Sinne der Strahlenoptik folgt: Ein Strahl von einem Brennpunkt wird von ihr stets zum anderen Brennpunkt reflektiert, denn nach Konstruktion ist an jedem Punkt der Ellipse Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel (beide zu messen gegen das "Einfallslot", das heißt die Senkrechte auf die Tangente im Berührpunkt). Erweitert man die Ellipse in die 3. Dimension (zum elliptischen Zylinder oder Rotations-Ellipsoid), so findet dieses in Akustik oder Wellenoptik Anwendungen ("Flüstergewölbe").

Auch Hyperbeln und Parabeln lassen sich ähnlich erzeugen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Quellen
Kap. 6.1 in Ogilvy, C. Stanley: Unterhaltsame Geometrie (Excursions in Geometry). Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1984

Partnerinhalte