Kreise zwischen 4 Punkten
Georg der Prachtliebende hat 4 Statuen (die vier Jahreszeiten darstellend) in seinem Garten und beauftragt nun seinen Chefgärtner, einen kreisrunden Weg anzulegen, der allen vier Statuen genau gleich nahe kommt. Das heißt: Die Entfernung von einer Statue zum ihr nächstgelegenen Punkt des Wegs ist für alle Statuen die gleiche. Der Garten ist eben, und die (punktförmigen) Statuen stehen weder auf einem Kreis noch auf einer Geraden. Auf Nachfrage ist zu erfahren, dass der Radius des kreisrunden Wegs auch unendlich sein darf (d. h. der Kreis entartet dann zur Geraden). Eine Lösung sieht so aus:
Wie viele solche Kreise (bzw. Geraden) gibt es?
Können alle 4 Statuen auf derselben Seite des Wegs (bei einem Kreis: innen bzw. außen) liegen?
Es gibt 7 solche Kreise (bzw. Geraden).
Dass alle 4 Punkte auf einer gemeinsamen Seite liegen (sozusagen 4 + 0), widerspricht der Voraussetzung, denn dann lägen sie auch auf einem gemeinsamen Kreis. Es bleiben also die Fälle 3 + 1 und 2 + 2.
Von der Sorte "3 + 1" gibt es 4 Fälle, denn jeder der 4 Punkte (z. B. A) kann der "allein stehende" sein. Die anderen drei (B,C,D) liegen auf einem Kreis mit einem Mittelpunkt M. Konzentrisch zu diesem liegt der gesuchte Kreis mit dem Radius (MA + MB)/2.
Weitere 3 Lösungen gibt es mit je zwei Punkten auf jeder Seite (denn aus 4 Objekten kann man auf 3 Arten zwei Paare bilden). Falls A und B auf einer Seite liegen und C und D auf der anderen, muss der Mittelpunkt des Kreiswegs auf den Mittelloten von AB und von CD liegen. Falls diese sich nicht schneiden (wenn nämlich ABCD ein Trapez ist), entartet der gesuchte Kreis zu einer Geraden, und zwar zu der Mittelparallele zu AB und CD. Ist ABCD ein Parallelogramm, so entarten sogar zwei Kreise zu Geraden.
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