Hemmes mathematische Rätsel: Kühe, Schafe und die Mundharmonika
1894 gründete der amerikanische Mathematiker Benjamin Finkel die Zeitschrift »American Mathematical Monthly«, die sich an Mathematikstudenten und Mathematiklehrer wendet, aber auch an Mathematiker, die in der Forschung arbeiten. Vom ersten Heft an enthielt die Zeitschrift eine Kolumne mit dem Titel »Problems and Solutions«, in der Leser mathematische Knobeleien stellen und lösen. Bis heute sind etwa 12 000 Probleme publiziert worden. Im Mai 1929 veröffentlichte J. H. Neeley und T. L. Smith vom Carnegie Institute of Technology in Pittsburgh in der USA in der Kolumne folgende Aufgabe:
Zwei Bauern besitzen gemeinsam eine Herde von N Kühen und verkaufen sie auf dem Markt für einen Preis von N Dollar pro Kuh. Mit dem Geld kaufen sie Schafe, die 12 Dollar pro Tier kosten. Dabei bleibt ein Rest übrig, der nicht mehr für ein Schaf, wohl aber für ein Lamm reicht. Als sie wieder in ihrem Dorf zurück sind, teilen sie die Herde auf, so dass jeder gleich viele Tiere bekommt. Der Bauer aber, der das Lamm bekommen hat, fühlt sich benachteiligt. Da gibt ihm der andere Bauer eine Mundharmonika, und beide sind zufrieden. Wie viel ist die Mundharmonika wert?
Die beiden Bauern haben für die Kühe N2 Dollar bekommen. Wäre N ein Vielfaches von 6, dann wäre N2 durch 36 und somit auch durch 12 teilbar. Da das nicht aber der Fall ist, kann N kein Vielfaches von 6 sein. Folglich gilt N = 12M + R, wobei R eine ganze Zahl von –5 bis +5, aber nicht 0 ist.
Das ergibt: N2/12 = (12M + R)2/12 = (144M2 + 24MR + R2)/12 = 12M2 + 2MR + R2/12.
Jeder Bauer hat gleich viele Tiere bekommen. Deshalb ist die Zahl der Tiere gerade und die der Schafe ungerade. Der ganzzahlige Anteil von N2/12 ist somit ungerade. Da aber 12M2 + 2MR gerade ist, muss R2/12 einen ungeraden Beitrag zu N2/12 leisten. Folglich kann N2 nicht kleiner als 12 sein.
Dies wiederum hat R = –5, –4, +4 oder +5 zur Folge. Falls R = –5 oder +5 ist, gilt R2/12 = 25/12 = 2 + 1/12, was einen geraden Beitrag zu N2/12 liefert und darum ausscheidet.
Mit R = –4 oder +4 erhält man R2/12 = 16/12 = 1 + 4/12, weswegen sich als Rest R = 4 ergibt. Das Lamm hat daher 4 Dollar gekostet. Ein Bauer hat also statt eines 12-Dollar-Schafes ein 4-Dollar-Lamm bekommen und ist somit um 8 Dollar benachteiligt worden.
Die Mundharmonika, die der eine Bauer abgibt und die der andere erhält, hat folglich einen Wert von 4 Dollar.
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