Hemmes mathematische Rätsel: Kugelstöße
Der amerikanische Mathematiker Murray S. Klamkin (1921–2004) erfand unzählige mathematische Denksportaufgaben. 1963 veröffentlichte er in der Zeitschrift »Mathematics Magazine« das folgende Kugelproblem:
Wenn zwei gleich schwere, völlig elastische Kugeln sich auf einer Linie bewegen und zusammenprallen − in der Physik nennt man dies einen zentralen elastischen Stoß −, so tauschen sie ihre Geschwindigkeiten. Wird zum Beispiel die erste Kugel, die eine Geschwindigkeit von 2 m/s hat, von der zweiten Kugel, deren Geschwindigkeit 3 m/s ist, eingeholt, hat die erste Kugel nach dem Zusammenstoß die Geschwindigkeit 3 m/s und die zweite nur noch 2 m/s. Dieses Gesetz gilt auch, wenn die Kugel sich aufeinander zu bewegen. Rollt beispielsweise die erste Kugel mit +1 m/s nach rechts und die zweite mit −2 m/s nach links, dann hat nach dem Stoß die erste Kugel die Geschwindigkeit −2 m/s und die zweite +1 m/s.
Angenommen, n gleich schwere, völlig elastische Kugeln bewegen sich alle mit irgendwelchen Geschwindigkeiten auf einer Geraden. Wie viele Zusammenstöße zwischen den Kugeln kann es maximal geben?
Die Kugeln sind völlig gleich, man kann sie also durch nichts voneinander unterscheiden, und bei einem Zusammenstoß vertauschen sie nur ihre Geschwindigkeiten. Deshalb kann man bei der Betrachtung der Stöße einen eleganten Trick benutzen: Man darf so tun, als würden sich die Kugeln einfach gegenseitig durchdringen und ihre ursprünglichen Geschwindigkeiten behalten. Die Kugeln tauschen bei einem Stoß also nicht ihre Geschwindigkeiten, sondern ihre Identitäten, was man aber nicht bemerkt.
In einem Ort-Zeit-Diagramm sind bei dieser Betrachtung die Bahnen der Kugeln einfache Geraden, und die Stöße sind die Schnittpunkte der Geraden. Jede Gerade kann maximal mit jeder anderen Geraden einen Schnittpunkt haben. Folglich schneiden n Geraden jeweils höchstens n−1 andere Geraden. Somit gibt es maximal n(n−1)/2 Schnittpunkte. Die Division durch 2 ist notwendig, da sonst jeder Schnittpunkt bei jeweils beiden beteiligten Geraden gezählt würde.
Die n Kugeln können somit höchstens n(n−1)/2-mal zusammenprallen. Durch passende Wahl der Anfangsorte und -geschwindigkeiten der Kugeln kann dies auch stets erreicht werden.
Die Abbildung zeigt ein Beispiel mit vier Kugeln, die die Geschwindigkeiten 2 m/s, 4 m/s, −1 m/s und −4 m/s haben. Sie prallen insgesamt sechsmal aufeinander.
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