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Hemmes mathematische Rätsel: Loh-Shus Bruder

Ordnen Sie die Spielsteine so um, dass die 1 in einem Eckfeld liegt. Es muss weiterhin 8 Geraden geben, auf denen je 3 Steine mit ihren Mittelpunkten liegen, und die Summe auf jeder Linie muss 15 betragen.
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Der 1944 in Hertfordshire geborene englische Elektroingenieur Lee Sallows ist ein weltweit anerkannter Experte für magische Figuren aller Art und der Erfinder der geomagischen Quadrate. Er hat aber auch zahlreiche andere mathematische Spielereien und Rätsel erdacht. Die heutige Knobelei hat er 2019 veröffentlicht.

Acht Spielsteine, die von 1 bis 9 nummeriert sind, liegen so in einem Raster von 3 Mal 3 Quadraten, wie es die Abbildung zeigt. In dem Raster gibt es 8 gerade Linien, auf denen jeweils drei Steine mit ihren Mittelpunkten liegen. Auf jeder Linie ist die Summe der Spielsteinzahlen genau 15. Ein solches Zahlenmuster nennt man magisches Quadrat dritter Ordnung und war bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. in China unter dem Namen Loh-Shu bekannt.

Ordnen Sie die Spielsteine so um, dass der Stein mit der 1 in einem Eckfeld zu liegen kommt. Es muss aber weiterhin acht gerade Linien geben, auf denen jeweils drei Steine mit ihren Mittelpunkten liegen, und die Summe der Zahlen auf jeder Linie muss immer noch genau 15 betragen. Natürlich darf in jedem Quadrat des Rasters nur ein Spielstein liegen.

Nehmen wir zunächst einmal an, die Mittelpunkte der Spielesteine würden mit den Mittelpunkten der Quadrate des Rasters zusammenfallen. Die Summe der Zahlen von 1 bis 9 beträgt 45. Da sich diese Zahlen auf drei Reihen verteilen, muss die Summe in jeder Reihe 45/3 = 15 ergeben. Es gibt insgesamt acht Möglichkeiten, mit drei verschiedenen Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 9 die Summe 15 zu erhalten:

9 + 5 + 1
9 + 4 + 2
8 + 6 + 1
8 + 5 + 2
8 + 4 + 3
7 + 6 + 2
7 + 5 + 3
6 + 5 + 4

Da das Raster drei Zeilen, drei Spalten und zwei Diagonalen, also insgesamt acht Reihen hat, kommen alle diese acht Möglichkeiten auch vor. Die vier Eckfelder des Rasters gehören zu jeweils drei Reihen. Die 1 kommt bei den acht Möglichkeiten nur zweimal vor und kann deshalb kein Eckfeld besetzen. Weil aber genau dies die Aufgabe fordert, können nicht alle Steine auf Quadratmittelpunkten liegen. Das wird aber auch keineswegs verlangt. Verzichtet man darauf, ist das Problem leicht zu lösen. Die Abbildung zeigt eine mögliche Anordnung der Spielsteine.

Loh-Shus Bruder

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