Hemmes mathematische Rätsel: Magische Fünfecke
Terrel Trotter (1941–2004) war Mathematiklehrer und unterrichtete zuerst in den USA und ab 1981 in San Salvador in Mittelamerika. Er war ein sehr kreativer Erfinder mathematischer Knobeleien und Zahlenspiele. 1972 und 1974 schrieb er für die Zeitschrift »Journal of Recreational Mathematics« zwei Artikel, in denen er eine umfassende Untersuchung seiner magischen Polygone veröffentlichte. Aus dem zweiten dieser beiden Artikel stammt das folgende Problem:
Setzen Sie die Zahlen von 1 bis 10 so in die zehn Felder des Fünfecks, dass die Summe der drei Zahlen auf jeder Fünfeckseite gleich groß ist. Eine zusätzliche Bedingung ist, dass diese Summe, die man auch als magische Konstante bezeichnet, so klein wie möglich sein soll.
Eine Reihensumme ist die Summe der drei Zahlen auf einer Seite des Fünfecks. Addiert man alle fünf Reihensummen, so gehen in das Ergebnis die Zahlen auf den Seitenmitten einfach und die Zahlen auf den Ecken doppelt ein, weil diese jeweils zu zwei Reihen gehören.
Diese Gesamtsumme ist dann am kleinsten, wenn man die Zahlen von 1 bis 5 auf die Ecken und die Zahlen von 6 bis 10 auf die Seitenmitten setzt. So beträgt die kleinstmögliche Gesamtsumme 2x(1+2+3+4+5)+6+7+8+9+10 = 70 und folglich die minimale magische Konstante 70/5 = 14.
Bildet man nun alle Tripel von Zahlen, die die Summe 14 ergeben und von denen zwei aus dem Bereich 1 bis 5 sind und eine aus dem Bereich 6 bis 10 ist, erhält man folgende Möglichkeiten: (1, 10, 3), (1, 9, 4), (2, 9, 3), (1, 8, 5), (2, 8, 4), (2, 7, 5), (3, 7, 4) und (3, 6, 5).
Die 10 kommt nur in einem Tripel vor. Deshalb muss es auch in dem magischen Fünfeck vorkommen. Auch die 6 ist nur in einem einzigen Tripel enthalten. Da die 3 schon auf einer Ecke steht, muss dieses Tripel daran anschließen. Nun lassen sich auch die restlichen drei Tripel leicht und eindeutig finden.
Abgesehen von Drehungen und Spiegelungen des Musters ist dies das einzig mögliche magische Fünfeck mit der magischen Konstante 14. Es gibt allerdings auch noch Fünfecke mit den magischen Konstanten 16, 17 und 19.
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