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Hemmes mathematische Rätsel: Martinsgänse

Kurz vor dem Sankt-Martins-Tag hatte ein Bauer eine Schar Gänse zum Markt getrieben. Können Sie berechnen, wie viele?
Graugänse im Schwarm

Der Engländer Henry Ernest Dudeney war der wohl größte Erfinder von Rätseln und mathematischen Knobeleien, der jemals gelebt hat. Er wurde 1857 geboren, arbeitete als Angestellter im öffentlichen Dienst und starb 1930. Seine hervorragenden Mathematikkenntnisse erwarb er sich autodidaktisch. Sein erstmals 1907 erschienenes Buch »The Canterbury Puzzle« ist ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik und immer wieder neu aufgelegt worden. Unverständlicherweise hat es über hundert Jahre gedauert, bis dieses Buch auch in Deutschland erschien. Erst seit September 2009 kann man eine deutsche Ausgabe in den Buchhandlungen kaufen. Aus diesem Buch stammt folgendes Rätsel:

Kurz vor dem Sankt-Martins-Tag hatte ein Bauer eine Schar Gänse zum Markt getrieben. Dem ersten Kunden verkaufte er die halbe Schar und noch eine halbe Gans. Der zweite Kunde nahm von den verbliebenen Gänsen ein Drittel und noch eine drittel Gans. Der dritte Kunde kaufte ein Viertel der restlichen Gänse und eine dreiviertel Gans. Der letzte Kunde erstand schließlich eine Fünftel vom Rest und eine fünftel Gans. Dem Bauern blieben am Abend noch 19 Gänse übrig, die er wieder nach Hause trieb. So blutrünstig seine Geschäfte auch klingen, er musste dennoch dabei kein Tier töten und zerteilen. Wie viele Gänse hatte er am Morgen?

Am einfachsten lässt sich das Rätsel lösen, indem man das Pferd von hinten aufzäumt.

Besaß der Bauer nach seinem dritten Kunden noch x Gänse, so verkaufte er dem vierten Kunden (x/5 + 1/5) Gänse und behielt 19 Gänse übrig. Das beschreibt die Gleichung x − x/5 − 1/5 = 19. Löst man sie nach x auf, erkennt man, dass der Bauer nach seinem dritten Kunden noch x = 24 Gänse besaß.

Nun geht man einen Schritt zurück. Hatte der Bauer nach seinem zweiten Kunden noch x Gänse und verkaufte dem dritten Kunden (x/4 + 3/4) Gänse, so blieben ihm noch 24 Gänse. Das ergibt die Gleichung x − x/4 − 3/4 = 24 und die Gänsezahl x = 33.

Wieder gehen wir einen Schritt zurück. Nach dem ersten Kunden hatte der Bauer noch x Gänse, von denen er dem zweiten Kunden (x/3 + 1/3) Gänse verkaufte, so dass ihm noch 33 Gänse blieben. Daraus ergibt sich die Gleichung x − x/3 − 1/3 = 33, die nach x aufgelöst zur Gänsezahl x = 50 führt.

Im letzten Schritt bezeichnen wir die Anzahl der Gänse, die der Bauer am Morgen zum Markt trieb, mit x. Er verkaufte davon (x/2 + 1/2) Gänse an seinen ersten Kunden und behielt 50 Gänse übrig. Daraus folgt die Gleichung x − x/2 − 1/2 = 50 und die Gänsezahl x = 101.

Wie man sieht, musste der Bauer bei den Verkäufen, trotz der vielen Bruchteile von Gänsen, kein einziges Tier töten und zerteilen.

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