Hemmes mathematische Rätsel: Mehr als zwölf Augen
1894 gründete der amerikanische Mathematiker Benjamin Finkel die Zeitschrift »American Mathematical Monthly«, die sich an Mathematikstudenten und Mathematiklehrer wendet, aber auch an Mathematiker, die in der Forschung arbeiten. Vom ersten Heft an enthielt die Zeitschrift eine Kolumne mit dem Titel »Problems and Solutions«, in der Leser mathematische Knobeleien stellen und lösen. Bis heute sind weit über 10 000 Probleme veröffentlicht worden. Im Mai 1947 stellte C. C. Carter aus Bluffs in Illinois in der Kolumne folgende Aufgabe:
Ein gewöhnlicher Spielwürfel, der die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 auf seinen Flächen trägt, wird so lange geworfen, bis die Summe der erreichten Augen größer als 12 ist. Ist diese Punktzahl überschritten, wird kein weiterer Wurf gemacht. Für dieses Spiel sind also mindestens drei, höchstens aber 13 Würfe notwendig. Was ist die wahrscheinlichste Gesamtpunktzahl?
Erst beim letzten Wurf mit dem Würfel überschreitet die Gesamtpunktezahl zwölf Augen. Nach dem vorletzten Wurf muss sie folglich 7, 8, 9, 10, 11 oder 12 betragen. Ist sie 12, so ist das Endergebnis 13, 14, 15, 16, 17 oder 18, wobei diese Zahlen alle gleich wahrscheinlich sind. Wenn die vorletzte Punktzahl 11 ist, muss das Endergebnis 13, 14, 15, 16 oder 17 sein, wobei wieder die Wahrscheinlichkeiten alle gleich sind. Analoges gilt auch für die anderen Zwischenergebnisse. Ist das vorletzte Ergebnis schließlich 7, kann das Endergebnis nur 13 sein. Die 13 ist das einzige Endergebnis, das bei allen sechs vorletzten Punktzahlen möglich ist, darum ist die 13 auch der wahrscheinlichste Wert für das Endergebnis.
Das Ergebnis kann verallgemeinert werden: Wird mit einem Würfel so lange geworfen, bis die Summe der erreichten Augen größer als n ist, wobei n > 6 gelten muss, so ist die wahrscheinlichste Gesamtaugenzahl immer n + 1.
Schreiben Sie uns!