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Hemmes mathematische Rätsel: Mein und Dein

Vier Männer vergleichen ihr Geld. Wie viel Geld hat jeder von ihnen?
Eine Frau hält einen Geldbeutel mit Scheinen darin in der Hand

Abu Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Hasib al-Karadschi wirkte Ende des 10. bis Anfang des 11. Jahrhunderts in Bagdad. Er war Mathematiker, aber es ist von ihm auch eine Schrift physikalisch-geologischen Inhalts erhalten geblieben. Seine Bücher enthalten zahlreiche unterhaltsame Probleme.

Vier Männer vergleichen ihre Ersparnisse. Da sagt der erste Mann zum zweiten: »Wenn du mir einen Dirham geben würdest, dann hätte ich doppelt so viel Geld wie du.« Darauf wendet sich der zweite Mann an den dritten und sagt: »Wenn du mir zwei Dirham geben würdest, dann hätte ich dreimal so viel Geld wie du.« Nun sagt der dritte Mann zum vierten: »Wenn du mir drei Dirham geben würdest, dann hätte ich viermal so viel Geld wie du.« Schließlich sagt der vierte Mann zum ersten: »Wenn du mir vier Dirham geben würdest, dann hätte ich fünfmal so viel Geld wie du.« Wie viel Geld hat jeder der vier Männer?

Bezeichnet die Höhe der Ersparnisse der vier Männer mit a, b, c und d, so kann man das Gespräch durch vier Gleichungen zusammenfassen: a + 1 = 2(b – 1), b + 2 = 3(c – 2), c + 3 = 4(d – 3) und d + 4 = 5(a – 4).

Löst man sie nach a, b, c und d auf, so wird daraus a = 2b – 3, b = 3c – 8, c = 4d – 15 und d = 5a – 24. Nun setzt man die vierte in die dritte Gleichung ein und erhält c = 4(5a – 24) – 15 = 20a – 111.

Danach wird die dritte Gleichung in die zweite eingesetzt: b = 3(20a – 111) – 8 = 60a – 341. Anschließend wird die zweite in die erste Gleichung eingesetzt: a = 2(60a – 341) – 3 = 120a – 685. Das ergibt a = 685/119 = 590119.

Nun kann man mit den letzten Gleichungen auch leicht die Werte für d, c und b bestimmen: d = 493119, c = 415119 und b = 445119.

Der erste Mann besitzt also 590119, der zweite 445119, der dritte 415119 und der vierte 493119 Dirham.

Natürlich kann man die Besitzverhältnisse auch durch eine Matrizengleichung ausdrücken und sie mit den Methoden der linearen Algebra lösen.

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