Hemmes mathematische Rätsel: Mit welcher Anzahl von Nullen können Fakultäten nicht enden?
Leo Moser (1921 –1970) war ein ausgezeichneter Schachspieler, Magier und Erfinder von Denksportaufgaben. 1953 veröffentlichte er im »Mathematics Magazine« folgendes Rätsel:
Die Fakultät n! einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n. Manche Fakultäten enden nicht mit einer Null wie 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, machen enden mit einer 0, etwa 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040, manche mit zwei Nullen: 11! = 39916800 und viele mit noch mehr Nullen. Einige Zahlen von Endnullen kommen jedoch bei keiner Fakultät vor.
Welches sind die zehn kleinsten dieser Zahlen?
Jede Multiplikation einer Zahl mit 10 fügt an ihr Ende eine 0 an. Aber auch wenn man eine Zahl mit den beiden Faktoren von 10, also mit 2 und 5, multipliziert, wird an ihrem Ende eine 0 hinzugefügt. Bei allen anderen Faktoren bekommt man keine zusätzlichen Nullen. Da es bei den Fakultäten viel häufiger den Primfaktor 2 als den Primfaktor 5 gibt, braucht man nur die Primfaktoren 5 zu zählen, um die Zahl der Endnullen zu bestimmen. Mit jedem Primfaktor 5 kommt also eine Endnull hinzu.
1! bis 4!: keine Endnull
5! bis 9!: eine Endnull
10! bis 14!: zwei Endnullen
15! bis 19!: drei Endnullen
20! bis 24!: vier Endnullen
Bei einer Multiplikation mit 25 = 52, 50 = 2 · 52, 75 = 3 · 52 usw. kommen jedoch gleich zwei Nullen hinzu und bei einer Multiplikation mit 125 = 53, 250 = 2 · 53, 375 = 3 · 53 usw. kommen sogar gleich drei Nullen hinzu. Mit allen höheren Fünferpotenzen kommen auf einen Schlag noch mehr Endnullen hinzu.
25! bis 29!: sechs Endnullen
30! bis 34!: sieben Endnullen
usw.
Fakultäten können deshalb nicht mit den folgenden Zahlen von Nullen enden: 5, 11, 17, 23, 29, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 92, 98, 104, 110, 116, 122, 123, 129, 135, 141, …
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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