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Hemmes mathematische Rätsel: Moderne Kunst

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1970 gründeten die beiden bekannten russischen Wissenschaftler Andrei N. Kolmogorov und Isaak K. Kikoyin die Zeitschrift »Kvant«, in der von Fachautoren auf anschauliche Weise über aktuelle Themen der Mathematik und der Physik für ein breites Publikum geschrieben wird. Die Zeitschrift wurde ein so großer Erfolg, dass ab 1990 auch eine amerikanische Ausgabe mit dem Titel »Quantum« erschien. Leider blieb der amerikanischen Ausgabe der Erfolg der russischen versagt, so dass sie nach elf Jahren wieder eingestellt wurde. In »Kvant« stellte V. Proizvolov ein Rätsel über ein modernes Gemälde:

Vier gerade Linien unterteilen ein Quadrat in eine rote Fläche, drei blaue und vier gelbe Flächen. Die beiden Punkte auf der linken und der unteren Seite des Quadrats, von denen jeweils zwei der Linien ausgehen, können an einer beliebigen Stelle zwischen der oberen und unteren Ecke bzw. der linken und rechte Ecke liegen. Wie klein und wie groß kann das Verhältnis der roten Fläche zur gesamten blauen Fläche höchstens sein?

Moderne Kunst

Das Quadrat habe den Flächeninhalt X. Die Grundseite und die Höhe des Dreiecks, das sich aus der roten Fläche A und den beiden gelben Flächen E und H zusammensetzt, sind genauso lang wie die Seiten des Quadrats. Folglich beträgt seine Fläche immer A + E + H = X/2. Die rote Fläche hat also die Größe A = X/2 − E − H.

Auch das Dreieck aus der roten Fläche A und den beiden gelben Flächen F und G hat eine Grundseite und eine Höhe, die so lang sind wie eine Quadratseite. Darum gilt auch für seine Fläche A + F + G = X/2.

Die restlichen Flächen des Quadrats, die nicht zu diesem Dreieck gehören, müssen damit auch eine halbe Quadratfläche groß sein: B + C + D + E + H = X/2.

Die drei blauen Flächen haben also zusammen die Größe B + C + E = X/2 − E − H. Die rote Fläche hat somit den gleichen Inhalt wie die drei blauen Flächen zusammen. Das Verhältnis der roten Fläche zur gesamten blauen Fläche ist also stets 1.

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