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Möndchen des Hippokrates

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© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Das blaue rechtwinklige Dreieck ist stets an Fläche so groß wie die beiden roten Möndchen (zwischen den Halbkreisen über der Hypotenuse und denen über den Katheten) zusammen (Lunulae Hippocrati).

Warum?

Die Möndchen gehören zu den hübschesten Anwendungen des pythagoreischen Satzes. Nicht nur die Flächen von Quadraten verhalten sich quadratisch wie einander entsprechende Längen, sondern auch alle anderen zu einander ähnlichen Flächen.

In diesem Fall sind es die Halbkreise über den Dreiecksseiten. Nennen wir \(A\) die Fläche des Halbkreises über der Kathete \(a\), entsprechend für die Kathete \(b\) und die Hypotenuse \(c\). Dann gilt nach dem erweiterten Pythagoras \(A+B=C\) oder auch \(A+B-C=0\). Aber die Fläche \(A+B-C\) ist, wie man aus der Zeichnung abliest, gleich der Fläche der Möndchen minus der Fläche des Dreiecks, was zu beweisen war.

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  • Quellen
Frank Heinrich und Hans Walser: Verallgemeinerungen der "Möndchen des Hippokrates". In MNU 52/5 (1999), S. 264–270

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