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Mohr und Mascheroni

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Wie kann man nur mit einem (immerhin verstellbaren) Zirkel, aber ohne Lineal (von Geo-Dreieck gar nicht erst zu reden) den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten konstruieren (natürlich exakt und in endlich vielen Schritten)?

Ähnliche gleichschenklige Dreiecke mit Seiten, die sich wie 1:2:4 verhalten, spielen entscheidende Rollen.

A und B seien gegeben, die anderen Punkte werden dann in alphabetischer Reihenfolge konstruiert bis zur Mitte H.

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Begründung: Die beiden getönten Dreiecke sind gleichschenklig und einander im Maßstab 1:2 ähnlich. Die gepunkteten Linien dienen nur zur Diskussion und können natürlich ohne Lineal nicht gezeichnet werden.

1672 beschrieb der Däne Georg Mohr in seinem Buch mit dem (nicht besonders bescheidenen) Titel "Euclides Danicus", wie man alle Konstruktionen, die man mit den klassischen Mitteln (verstellbarer) Zirkel und Lineal (ohne Skalen!) in endlich vielen Schritten theoretisch exakt ausführen kann, auch mit dem Zirkel allein vollbringen kann. Mohr geriet aber in völlige Vergessenheit. Über ein Jahrhundert später erfand Lorenzo Mascheroni diese Methoden neu und beschrieb sie 1797 in seinem Werk "La geometria del compasso" ("Geometrie des Zirkels"). Erst 1928 fand ein Student das Buch von Mohr auf einem Flohmarkt, und daraufhin wurde Mohr als erster Erfinder der bis dahin nach Mascheroni benannten Konstruktionen gewürdigt.

Die Halbierung der Strecke ist hier um einen Zirkelschlag kürzer als in Mascheronis Buch (dank mehrerer Leser des Scientific American, wie Gardner im Mathematischen Circus berichtet), aber immer noch bemerkenswert kompliziert, wenn auch wieder auf eine sehr elegante Weise. Man kann auch sagen, dass man den Punkt H durch Inversion des Punktes E an dem Kreis um A findet, denn AH:AB = AB:AE. Courant und Robbins behandeln die Mohr-Mascheroni-Konstruktionen in ihrem wunderbaren Buch "Was ist Mathematik" vor allem wegen ihrer Beziehungen zur Inversion.

Friedhelm Schäfke bezeichnete einmal in seiner Anfänger-Vorlesung in Köln die Axiomatik als eine Methode, sich ein Bein abzuhacken und dann mit dem anderen Luftsprünge zu machen. Auf die Mohr-Mascheroni-Konstruktionen (wie auch auf die mit Lineal und eingerostetem Zirkel) trifft das auch zu, angesichts der Existenz von Geo-Dreiecken und Zeichenprogrammen aber eigentlich auch auf die (euklidischen) klassischen Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen: Mit allen drei Varianten kann man die gleichen Punkte in der ebenen Geometrie konstruieren, wie einerseits Mascheroni und andererseits Jacob Steiner gezeigt haben.

Mir ist es mit diesem Thema so gegangen: Auf der Internet-Suche nach Informationen über Napoleons Punkt bin ich auf "Napoleons Problem" (unsere Aufgabe 356) gestoßen und damit auf Mascheroni, der für mich bis dahin nur wegen der nach Euler und nach ihm benannten Konstanten ein bekannter Name war. Und einige Tage später habe ich dann Stellen vor allem bei Gardner (schön rund!), Ball/Coxeter (nur ganz knapp!) und bei Courant/Robbins (mit der erwähnten Beziehung zur Inversion) gefunden, die ich bisher nicht beachtet hatte. Schließlich erwies sich noch die (leider vergriffene) "Experimentelle Geometrie" von W. Lietzmann als Fundgrube für Konstruktionen mit eingeschränktem Werkzeug, und ich wurde (wieder über das Internet-Suchwort "rusty compass") auf die "Geometric Constructions" von George E. Martin aufmerksam.

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  • Quellen

Lorenzo Mascheroni: La Geometria del Compasso. Nachdruck, Palermo 1901

W. W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter: Mathematical Recreations and Essays. Dover, 2010

R. Courant, H. Robbins: Was ist Mathematik? Springer, Heidelberg 1973

W. Lietzmann: Experimentelle Geometrie. Teubner, 1959

George E. Martin: Geometric Constructions. Springer, Heidelberg 1998

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