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Hemmes mathematische Rätsel: Nach wie vielen Tagen treffen die Läufer erstmals alle zusammen?

3 Läufer gehen eine 325 Li lange, kreisrunde Strecke. Der erste legt 90, der zweite 120, der dritte 150 Li pro Tag zurück.
Marathonläufer auf der Straße

Zhang Qiujian (430–490) verfasste das mathematische Handbuch »Zhang Qiujian Suanjing«. Es besteht aus drei Kapiteln mit insgesamt 92 Problemen und deren Lösungen, die sich mit Quadrat- und Kubikwurzeln, arithmetische Reihen, linearen Gleichungssystemen, Proportionen und Flächen- und Volumenberechnungen befassen. Etliche Probleme davon stammen auch aus der Unterhaltungsmathematik wie die folgende zehnte Aufgabe des ersten Kapitels.

Rund um einen hohen Berg verläuft eine 325 Li lange Straße im Kreis. Drei Läufer laufen entlang dieser Straße mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten Tag und Nacht im Uhrzeigersinn immer um den Berg herum. Die drei Läufer sind verschieden schnell. Der erste legt 90, der zweite 120 und der dritte 150 Li pro Tag zurück. Sie starten gleichzeitig am selben Ort. Nach wie vielen Tagen treffen sie erstmals alle drei wieder zusammen?

Der schnellste Läufer und der zweitschnellste sind 150 − 90 = 60 Li/Tag beziehungsweise 120 − 90 = 30 Li/Tag schneller als der langsamste Läufer. Nun kann man auch annehmen, dass der langsamste Läufer sich nicht vom Fleck bewegt und die beiden anderen mit nur 60 beziehungsweise 30 Li/Tag rennen, ohne dass sich an dem Problem etwas ändert.

Der schnellste Läufer rennt somit alle 325/60 = 5512 Tage und der zweitschnellste alle 325/30 = 101012 Tage an dem langsamsten Läufer vorbei. Das bedeutet, nach 10 Tagen und 20 Stunden treffen alle drei Läufer erstmalig nach dem Start wieder zusammen.

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