Man kann den pythagoreischen Satz auch auf die Hälften eines gleichschenkligen Dreiecks anwenden. Sie benötigen Radien, die sich wie die Quadratwurzeln einfacher ganzer Zahlen verhalten. Und nicht vergessen: Keine geraden Linien zeichnen, und auch nicht einen Schenkel des Zirkels als Lineal missbrauchen. Es geht echt ohne Schummeln in endlich vielen (sogar ziemlich wenigen) Schritten exakt, also auch bitte keine iterativen Lösungen!

Wir fangen so an, als wollten wir die Ecken eines regelmäßigen Sechsecks zeichnen, was ja nun ganz leicht mit einem bloßen Zirkel geht:

Eine Länge, die \(\sqrt{3}\) mal so lang ist wie der bisherige Radius \(r\), finden wir leicht als längere Diagonale einer Raute und bauen mit ihr die Schenkel in einem gleichschenkligen Dreieck:

In diesem ist dann die Höhe \(\sqrt{2}r\), und damit bekommen wir die noch fehlenden Quadratecken auf dem Kreis, mit dem wir angefangen haben. Die gepunkteten Linien können wir selbstverständlich nicht zeichnen, sie deuten nur an, wo wir den Zirkel einstellen und wo gleich lange Radien sind:

Das Quadrat selbst müssen wir uns allerdings denken, denn wir haben ja nur die Ecken konstruiert:

Diese Lösung stammt von Lorenzo Mascheroni (1750–1800) aus "La Geometria del Compasso" (1797), zitiert nach Scriba/Schreiber. Dort findet sich auch die zugehörige Geschichte: Mascheroni hatte (wie er meinte, als Erster) entdeckt, dass man alle Konstruktionen "mit Zirkel und Lineal" auch nur mit dem Zirkel machen kann – Sie haben gesehen, dass es gar nicht so trivial ist – und das genannte Buch darüber geschrieben. Napoleon lernte Mascheroni auf seinem Italienfeldzug persönlich kennen und verblüffte dann in Paris einige Mathematiker mit der hier behandelten Aufgabe aus dem Buch, das gerade erst im Druck war.

1928 fand dann ein Student in Kopenhagen ein Buch aus dem Jahr 1672 auf dem Flohmarkt, nämlich den "Euclides Danicus", in dem der dänische Mathematiker Georg Mohr (1640–1697) dieselben Methoden schon beschrieben hat. Seitdem sind sie nach Mohr und Mascheroni benannt.