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Nichts als Dreiecke

Treitz-Rätsel

Wieso ist dieses Bild eine Beweisskizze für den pythagoreischen Satz?

Die beiden inneren (hellen) Dreiecke bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, das durch seine Höhe (wegen gleicher Winkel) in zwei zu ihm ähnliche (also auch rechtwinklige) Dreiecke geteilt wird.

Alle drei Dreiecke sind nach außen noch einmal klappsymmetrisch zugefügt, die Additivität der Flächen gilt auch für sie.

Wenn man nun die anschaulich ziemlich einleuchtende Regel hinzunimmt, dass sich die Flächen zueinander ähnlicher Figuren wie die Quadrate sich entsprechender Längen verhalten, bekommt man den pythagoreischen Satz in der etwas allgemeineren Form:

Verhalten sich die einander entsprechenden Längen in drei zueinander ähnlichen Figuren wie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, so ist der Flächeninhalt der größten gleich der Summe der beiden anderen.

Der rechnerische Umweg über das Ausmultiplizieren von Verhältnisgleichungen taucht hier nicht auf. Es spielt sich alles im Bereich des Visuellen ab: Ähnlichkeit und Deckungsgleichheit, Klappsymmetrie. Quadrate treten nur in dem Sinne auf, in dem sie früher als "doppelte Proportionalität" bezeichnet wurden, womit gemeint war: proportional in der Länge und außerdem noch in der Breite. Der pythagoreische Satz handelt also wesentlich von den Wechselbeziehungen zwischen Längen und Flächen.

Aus diesen Gründen finde ich diesen Beweis besonders elegant. Kurz ist er nur insofern, als man Formeln und Bezeichnungen weglassen kann. Die zugehörigen Überlegungen insbesondere zur Ähnlichkeit bleiben einem nicht erspart. Aber die Konzentration auf das Wesentliche hat etwas!

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  • Quellen
"Shortest Pythagorean Proof?"; Lietzmann Seite 41

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