Hemmes mathematische Rätsel: Nullen und Einsen
Was wäre die Unterhaltungsmathematik ohne Martin Gardner? Der 1914 in Oklahoma geborene und 2010 auch dort gestorbene US-amerikanische Autor schrieb ab 1956 über 25 Jahre lang für das US-amerikanische Wissenschaftsmagazin »Scientific American« die Kolumne »Mathematical Games«, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete, mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte und den Lesern Rätsel zu lösen gab. Gardner wurde weltbekannt, und Monat für Monat lasen Hunderttausende begeistert seine Kolumne. Durch ihn wurde die Unterhaltungsmathematik erst richtig populär. Gardners Artikel wurden zu mehr als einem Dutzend Bücher zusammengefasst und in vielen Sprachen zu Bestsellern. Seit 1993 gibt es sogar eine regelmäßig stattfindende Unterhaltungsmathematik-Tagung, die nach Martin Gardner benannt ist.
Das folgende Zahlenproblem stammt aus der Anfangszeit von Gardners Kolumne im »Scientific American«; es erschien erstmals im Juli 1958.
Wie lautet die kleinste positive ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 225 teilen lässt und die im Dezimalsystem nur aus Nullen und Einsen besteht?
Die Zahl 225 ist das Produkt aus 9 und 25. Jede Zahl, die sich sowohl durch 9 als auch durch 25 teilen lässt, ist also auch durch 225 teilbar. Durch 9 ist eine Zahl dann teilbar, wenn ihre Quersumme ein Vielfaches von 9 ist. Folglich ist eine Zahl, die nur aus Nullen und Einsen besteht, gerade dann durch 9 teilbar, wenn sie 9, 18, 27, 36 oder allgemein 9n Einsen enthält. Die Anzahl der Nullen spielt keine Rolle, denn sie verändert die Quersumme nicht. Die kleinste durch 9 teilbare Zahl besteht somit aus genau neun Einsen.
Damit eine Zahl durch 25 teilbar ist, müssen ihre letzten Ziffern entweder 00, 25, 50 oder 75 sein. Bei unserem Problem können sie natürlich nur 00 sein. Folglich ist die kleinste durch 225 teilbare Zahl, die nur aus Nullen und Einsen besteht, 11111111100 = 225 · 49382716.
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