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Hemmes mathematische Rätsel: Perfekte Sterne

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Frank Schwellinger wurde 1960 in Pforzheim geboren und war als Schüler mehrfach Preisträger beim Bundeswettbewerb Mathematik. Er studierte Informatik an der Universität Karlsruhe und ist Autor elektronischer Lernmodule zum Thema Mathematik. Schwellinger liebt es zu rätseln, zu knobeln, über den Tellerrand zu schauen und über allerlei Themen spielerisch unkonventionell, manchmal auch tiefsinnig und hintergründig nachzudenken. Er hat in den vergangenen Jahren drei Bücher geschrieben mit den Titeln »Das neue Haus vom Nikolaus« (2010), »Warum gibt es kein Bier auf Hawaii?« (2012) und »Das Reihenhaus vom Nikolaus« (2012). Sie enthalten ausschließlich selbst erfundene mathematische Knobeleien, die alle in kurze, fantasievolle Geschichten gekleidet sind. Aus seinem neuesten Buch stammt die folgende Aufgabe.

Bei einem perfekten Stern sind nicht nur alle Seiten gleich lang, sondern auch alle Innenwinkel in den Zacken genauso groß wie alle Außenwinkel zwischen Zacken. Der zehnzackige Stern aus der Zeichnung ist nicht perfekt, denn seinen Außenwinkel zwischen den Zacken sind größer als seine Innenwinkel in den Zacken. Wie viele Zacken hat ein perfekter Stern?

Zeichnet man die Seitenlinien des Sterns immer abwechseln rot und blau, erkennt man, dass jedes Paar benachbarter roter Linien von einer blauen Linie geschnitten wird. Die beiden Wechselwinkel sind beide gleich α. Folglich verlaufen alle roten Linien parallel zu einander. Ganz analog kann man auch zeigen, dass alle blauen Linien parallel zueinander liegen. Somit können die Zacken niemals einen Stern bilden, sondern nur ein Muster, das aussieht wie ein Sägeblatt.

Perfekte Sterne

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