Die Diagonale im Rechteck ist zwar die Grenze gewisser Trapeze und Dreiecke, aber das sind nicht die gleichen wie im Quadrat. Wenn Sie die "richtigen" Trapeze und Dreiecke nehmen, gehen die Grenzen knapp an der Diagonalen vorbei, aber das fällt nicht sofort auf. Bei kleineren Zahlen sieht man das dann zunehmend deutlicher:

Fällt Ihnen an den Zahlen etwas auf? Sie stammen alle aus der Fibonacci-Folge 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …, in der jede Zahl die Summe ihrer beiden Vorgänger ist. Diese Folge hat die Eigenschaft, dass der Quotient zweier auf einander folgender Zahlen gegen den Goldenen Schnitt \(g\) konvergiert, der durch die Bedingung \(1+g = g^2\) definiert ist.

Betrachten wir zum Vergleich die geometrische Folge \(G_n=g^n\) mit diesem \(g\) (siehe auch das Rätsel zur Binet-Formel). Auf Grund der Konstruktion verhalten sich zwei aufeinander folgende Glieder wie \(G_n:G_{n+1}=1:g\), und zugleich gilt für drei von ihnen \(G_n+G_{n+1}=G_{n+2}\). Eine solche Folge besteht natürlich nicht aus ganzen Zahlen (sondern aus algebraischen, grob gesagt: Wurzeln). Man kann sie aber beliebig genau durch ganze Zahlen annähern, z. B. durch solche, für die die Additionsregel exakt und die Verhältnisregel beliebig genau näherungsweise zutrifft. Solche ganze Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen.

Für das Pflasterstein-Rätsel eignen sich also hinreichend große Zahlen aus dieser Folge als waagerechte und senkrechte Seitenlängen der Trapeze und Dreiecke, die durch die Geometrie nahe gelegten Verhältnisgleichungen sind dann fast genau erfüllt.