Direkt zum Inhalt

Platonische Polyeder färben

Treitz-Rätsel

Wie viele Farben braucht man, um die Flächen der platonischen Polyeder (also Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Ikosaeder und Dodekaeder) so zu färben, dass an keiner Kante zwei gleich gefärbte Flächen zusammentreffen (an den Ecken ist alles erlaubt)? Kann man die Ergebnisse auch erklären?

Zur Erleichterung des Probierens projizieren Sie die Kanten der Polyeder kreuzungsfrei in eine Ebene (Schlegel-Diagramme, im Prinzip stereografische Projektion).

Nun müssen Sie nur noch die Färbungen ausprobieren. Bedenken Sie, dass auch jeweils der unendlich große Rest der Ebene (hier kreisförmig abgeschnitten) eine Polyederfläche darstellt und mitgefärbt werden muss.

Die Maximalzahl nötiger Farben ist für Landkarten in der Ebene oder auf der Kugel 4 (Vierfarbensatz von Appel und Haken, 1976). Das Oktaeder (links oben) kommt mit zwei Farben aus, weil sich in jeder Ecke eine gerade Zahl von Kanten treffen. Wenn sich 3 oder 5 treffen, braucht man mindestens 3 Farben, und wenn in diesen Fällen die Polygone auch noch ungerade Eckenzahlen haben, braucht man alle 4 Farben (beim Würfel demnach nur 3).

Außer den regulären Polyedern können Sie auch halbreguläre betrachten. Die quasiregulären (Kuboktaeder und Ikosidodekaeder) erweisen sich dabei als besonders sparsam.

Schreiben Sie uns!

Beitrag schreiben

Wir freuen uns über Ihre Beiträge zu unseren Artikeln und wünschen Ihnen viel Spaß beim Gedankenaustausch auf unseren Seiten! Bitte beachten Sie dabei unsere Kommentarrichtlinien.

Tragen Sie bitte nur Relevantes zum Thema des jeweiligen Artikels vor, und wahren Sie einen respektvollen Umgangston. Die Redaktion behält sich vor, Zuschriften nicht zu veröffentlichen und Ihre Kommentare redaktionell zu bearbeiten. Die Zuschriften können daher leider nicht immer sofort veröffentlicht werden. Bitte geben Sie einen Namen an und Ihren Zuschriften stets eine aussagekräftige Überschrift, damit bei Onlinediskussionen andere Teilnehmende sich leichter auf Ihre Beiträge beziehen können. Ausgewählte Zuschriften können ohne separate Rücksprache auch in unseren gedruckten und digitalen Magazinen veröffentlicht werden. Vielen Dank!

Partnerinhalte

Bitte erlauben Sie Javascript, um die volle Funktionalität von Spektrum.de zu erhalten.