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Platonische Polyeder färben

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Wie viele Farben braucht man, um die Flächen der platonischen Polyeder (also Tetraeder, Oktaeder, Würfel, Ikosaeder und Dodekaeder) so zu färben, dass an keiner Kante zwei gleich gefärbte Flächen zusammentreffen (an den Ecken ist alles erlaubt)? Kann man die Ergebnisse auch erklären?

Zur Erleichterung des Probierens projizieren Sie die Kanten der Polyeder kreuzungsfrei in eine Ebene (Schlegel-Diagramme, im Prinzip stereografische Projektion).

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Nun müssen Sie nur noch die Färbungen ausprobieren. Bedenken Sie, dass auch jeweils der unendlich große Rest der Ebene (hier kreisförmig abgeschnitten) eine Polyederfläche darstellt und mitgefärbt werden muss.

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Die Maximalzahl nötiger Farben ist für Landkarten in der Ebene oder auf der Kugel 4 (Vierfarbensatz von Appel und Haken, 1976). Das Oktaeder (links oben) kommt mit zwei Farben aus, weil sich in jeder Ecke eine gerade Zahl von Kanten treffen. Wenn sich 3 oder 5 treffen, braucht man mindestens 3 Farben, und wenn in diesen Fällen die Polygone auch noch ungerade Eckenzahlen haben, braucht man alle 4 Farben (beim Würfel demnach nur 3).

Außer den regulären Polyedern können Sie auch halbreguläre betrachten. Die quasiregulären (Kuboktaeder und Ikosidodekaeder) erweisen sich dabei als besonders sparsam.

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