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Hemmes mathematische Rätsel: Pomeranzen und Granatäpfel

Ein Mann kauft für 6 Mark 36 Pomeranzen und 24 Granatäpfel, ein anderer für 8 Mark 18 Pomeranzen und 72 Granatäpfel. Wie viele Pomeranzen und Granatäpfel bekommt man für eine Mark?
Obst in Plastiktüten

Henricum Roselen war ein Rechenmeister aus Köln. 1620 veröffentlichte er ein Lehr- und Übungsbuch für jedermann mit dem Titel »Wohlgegründt Kunst und artig Rechenbuch«. Es enthält nicht nur praktische Rechenverfahren, sondern auch viele Aufgaben aus der Unterhaltungsmathematik wie zum Beispiel die folgende:

Ein Mann kaufte in einem Laden für sechs Mark 36 Pomeranzen und 24 Granatäpfel. In demselben Laden bezahlte ein anderer Mann acht Mark für 18 Pomeranzen und 72 Granatäpfel. Wie viele Pomeranzen und Granatäpfel bekommt man in diesem Laden für genau eine Mark?

Bezeichnet man den Preis für eine Pomeranze mit P und den für einen Granatapfel mit G, so lassen sie die Einkäufe der beiden Männer durch die Gleichungen 36P + 24G = 6 und 18P + 72G = 8 ausdrücken.

Dieses System löst man auf und erhält dabei für die Pomeranze einen Preis von 1/9 Mark und für den Granatapfel von 1/12 Mark.

Wenn man nun n Pomeranzen und m Granatäpfel kaufen will und dafür genau eine Mark bezahlen muss, so kann man dies durch die Gleichung n/9 + m/12 = 1 darstellen. Sie lässt sich zu n = 9 − 3m/4 umformen. Weil n eine positive ganze Zahl sein muss, kann m nur 0, 4, 8 oder 12 sein.

Daraus ergibt sich, dass man für eine Mark entweder nur 9 Pomeranzen und keinen Granatapfel oder 4 Granatäpfel und 6 Pomeranzen oder 8 Granatäpfel und 3 Pomeranzen oder nur 12 Granatäpfel und keine Pomeranze kaufen kann.

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