Hemmes mathematische Rätsel: Primzahlen
Zwischen 1959 und 1964 warb die Firma Litton Industries für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten. Diese Aufgaben waren ein so großer Erfolg, dass Litton Industries sie in gesammelter Form als eine Reihe kleiner Hefte mit dem Titel Problematical Recreations herausgab. Eine dieser Aufgaben handelt von einer unendlich langen Zahlenreihe, die mit einer 9 beginnt und mit jedem Element um eine Ziffer länger wird.
9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876543, 98765432, 987654321, 9876543219, 98765432198, …
Die jeweils nächste Zahl wird aus der vorherigen gebildet, indem man an deren letzte Ziffer eine davon um 1 kleinere Ziffer anhängt. Es gibt allerdings eine Ausnahme: Endet die vorherige Zahl mit einer 1, so wird für die nächste Zahl nicht eine 0, sondern eine 9 angehängt. Wie viele und welche Zahlen dieser Reihe sind Primzahlen?
Die unendliche Reihe enthält keine einzige Primzahl, denn alle Zahlen sind entweder durch 2, 3 oder 5 teilbar.
Alle geraden Zahlen scheiden aus, denn außer 2 gibt es keine weiteren geraden Primzahlen. Die Zahlen, die auf 5 enden, sind auch durch 5 teilbar und somit keine Primzahlen. Es bleiben noch die Zahlen, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, zu untersuchen übrig.
Die vier kleinsten dieser Zahlen sind 9, 987, 9876543 und 987654321. Ihre Quersummen betragen 9, 24, 42 und 45. Da sie durch 3 teilbar sind, sind es die Zahlen selbst auch, und folglich können sie keine Primzahlen sein.
Alle weiteren Zahlen die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, entstehen dadurch, dass man den Zahlen 9, 987, 9876543 und 987654321 die Ziffernfolge 987654321 ein- oder mehrfach voranstellt. Dadurch bleibt aber die Quersumme weiterhin durch 3 teilbar, und man erhält keine Primzahlen.
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