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Primzahlensieb

Treitz-Rätsel

Eratosthenes hat sich die Suche nach Primzahlen so vorgestellt, dass man alle natürlichen Zahlen (bis zu einer vorgegebenen Maximalzahl) durch ein Sieb fallen lässt. Aus was für Schichten besteht dieses Sieb?

Wenn man z. B. alle Primzahlen unter \(z = 10000\) sucht, muss man für jede Primzahl \(p\) zwischen 1 und \(\sqrt z\) (also im Beispiel 100) deren 2-, 3-, \(n\)-Faches abfangen, also die Zahlen \(pn\), wobei \(n\) von 2 an so weit wie nötig läuft. Man kann sich dann für jede dieser Primzahlen eine Schicht des Siebes denken. Die Primzahlen unter \(\sqrt z\) kann man vorher nach der gleichen Methode ermitteln.

Dieses Bild zeigt das Prinzip. Das folgende zeigt das Ergebnis des Verfahren s, angewandt auf die Primzahlen unter etwa 250000. Rechts wird in blau angezeigt, wie viele Primzahlen in der jeweiligen Zeile aus 500 Zahlen liegen.

Rot sind die Primzahlzwillinge hervorgehoben, also Paare von Primzahlen mit der Differenz 2. Ob es von diesen Zwillingen mehr als endlich viele gibt, weiß man bisher nicht, auch wenn es auf diesem Gebiet große Fortschritte gegeben hat.

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