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Hemmes mathematische Rätsel: Produkt und Summe aus Einsen

Welche beiden Zahlen, deren Ziffern ausschließlich Einsen sind, ergeben bei ihrer Addition den gleichen Wert wie bei ihrer Multiplikation?
Zufällig ausgewählte Zahlen

Henry Ernest Dudeney war wohl der bedeutendste Rätselerfinder, der jemals lebte. Es gibt heute kaum ein Denksportaufgabenbuch, das nicht Dutzende seiner Probleme enthält. Dudeney wurde am 1. April 1857 in Mayfield in England als Sohn eines Dorfschullehrers geboren. Er besuchte niemals eine Universität und erwarb seine sehr guten Mathematikkenntnisse ausschließlich autodidaktisch. Er entwarf über Jahrzehnte für zahlreiche Zeitungen und Magazine regelmäßig Denksportprobleme. Eine Zeit lang arbeitete Dudeney auch mit dem großen amerikanischen Rätselerfinder Sam Loyd zusammen, und die beiden schrieben eine gemeinsame Kolumne. 1884 heiratete er, und seine Frau, eine erfolgreiche Romanautorin, trug viel zum Familieneinkommen bei. Dudeney fasste die meisten seiner Rätsel später auch zu Büchern zusammen, die immer wieder neu aufgelegt wurden und zum Teil auch heute noch erhältlich sind. Er starb am 24. April 1930 in Lewes in England. Im »Strand Magazine« veröffentlichte er 1918 folgendes Rätsel:

Welche beiden Zahlen, deren Ziffern ausschließlich Einsen sind, ergeben bei ihrer Addition den gleichen Wert wie bei ihrer Multiplikation? Kann es ein solches Zahlenpaar überhaupt geben?

Wenn man nach ganzen Zahlen sucht, die die gewünschten Eigenschaften besitzen, ist das Problem nicht lösbar. Allerdings ist diese Einschränkung in der Aufgabe nicht gemacht worden. Es sind auch Dezimalzahlen mit Nachkommastellen zugelassen.

Bezeichnen wir die beiden gesuchten Zahlen mit A und B, so sollen sie die Gleichung A + B = A · B erfüllen. Nach B aufgelöst, ergibt sie B = A / (A − 1). Die Zahlen A und B bestehen aus einer beliebigen Anzahl von Einsen und eventuell einem Dezimalkomma, das an irgendeiner Stelle stehen kann.

Schauen wir uns die nach B aufgelöste Gleichung ein wenig genauer an. Der Wert von A darf nicht 1 sein, da dann der Nenner des Bruches zu 0 würde. Der nächstgrößere mögliche Wert für A ist 1,1. Damit wird auch schon ein Lösungspaar gefunden: 1,1 + 11 = 1,1 · 11.

Die nächste Kandidatin für A, die größer als 1,2 ist, ist 11. Damit erhält man B = 1,1. Dieses Lösungspaar ist jedoch identisch mit dem zuerst gefundenen. Es lässt nun beweisen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

Lässt man auch gemischte Zahlen als Lösungen zu, gibt es allerdings noch viele weitere Lösungen, wie V. Bartussek aus Aachen 2013 zeigte, beispielsweise 111 + 111 = 111 · 111 oder 11111 + 11111 = 11111 · 11111.

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