Hemmes mathematische Rätsel: Punkte auf Mittelsenkrechten
Hallard T. Croft, ein Mathematiker der Universität Cambridge in England, hat 1991 zusammen mit Kenneth Falconer und Richard K. Guy das wunderbare Buch Unsolved Problems in Geometry geschrieben. Viele der geometrischen Aufgaben dieses Buches stammen von Listen, die er über lange Zeit seinen Freunden und Kollegen ab und an schickte. Um 1970 stellte er auf einer solchen Liste eine Frage über eine Punktmenge, die für dieses Rätsel geringfügig vereinfacht worden ist.
Vier rote Punkte liegen, so wie es die Abbildung zeigt, in einer Ebene. Jeder Punkt ist mit jedem anderen Punkte durch eine blaue Strecke verbunden. Nun wird auf jede Verbindungsstrecke die Mittelsenkrechte errichtet. Dies sind die fünf grünen Linien und die vertikale blaue Linie, die ja außerdem die Verbindungsstrecke des obersten mit dem untersten Punkt ist. Auf dieser letzten Mittelsenkrechten liegen genau zwei rote Punkte, auf allen anderen Mittelsenkrechten hingegen liegt kein einziger roter Punkt.
Ordnen Sie acht rote Punkte so in der Ebene an, dass auf der Mittelsenkrechten jeder der 28 Verbindungsstrecken zweier rote Punkte genau zwei andere rote Punkte liegen.
Eine sehr elegante und hochsymmetrische Lösung wurde um 1970 von dem Mathematiker Leroy M. Kelly von der Michigan State University in den USA gefunden. Die acht Punkte liegen in seiner Lösung auf den Ecken eines Quadrats und den Spitzen von vier gleichseitigen Dreiecken, die auf den Quadratseiten sitzen. Dabei spielt es keine Rolle, ob die vier Dreiecke alle außerhalb oder alle innerhalb des Quadrats liegen. In den beiden Zeichnungen sind der Übersichtlichkeit halber nur jeweils zwölf der 28 Verbindungsstrecken eingezeichnet worden, und die jeweils 28 Mittelsenkrechten fehlen völlig. Man kann aber dennoch leicht überprüfen, dass die beiden Punktanordnungen die Bedingungen der Aufgabe erfüllen.
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