Auch Rauten zeigen Quadratzahlen.

Geht man der Reihe nach von einer Dreieckszahl zur nächsten, so wechselt abwechselnd die Quadratzahl und die (doppelt zunehmende) Dreieckszahl zur nächst höheren:

• 0 = 0 + 2\(\cdot\)0
• 1 = 1 + 2\(\cdot\)0
• 3 = 1 + 2\(\cdot\)1
• 6 = 4 + 2\(\cdot\)1
• 10 = 4 + 2\(\cdot\)3
• 15 = 9 + 2\(\cdot\)3
• 21 = 9 + 2\(\cdot\)6
• 28 = 16 + 2\(\cdot\)6
• 36 = 16 + 2\(\cdot\)10
• 45 = 25 + 2\(\cdot\)10
• 55 = 25 + 2\(\cdot\)15
• 66 = 36 + 2\(\cdot\)15
• usw.

Man kann die Sache natürlich auch algebraisch erledigen, muss dann allerdings zwischen Dreieckszahlen zu geradem und zu ungeradem \(n\) unterscheiden. Mit \(D(n)= n(n+1)/2\) sei die Dreieckszahl zu \(n\) bezeichnet. \[D(n)= {n(n+1)\over 2} = \cases { \left( {n \over 2}\right)^2 + 2 { {n \over 2}\left({n \over 2} +1\right) \over 2} = \left( {n \over 2}\right)^2 + 2 D\left({n \over 2}\right)& für \(n\) gerade \cr \phantom{n} & \cr \left( {n+1 \over 2}\right)^2 + 2 {\left({n-1 \over 2}\right)\left({n+1 \over 2}\right)\over 2} = \left( {n+1 \over 2}\right)^2 + 2 D\left({n-1 \over 2}\right) & für \(n\) ungerade }\] wie man durch Ausmultiplizieren bestätigt.

Können Sie im Kopf eine Dreieckszahl mit 100 Dezimalstellen hinschreiben?

Wie Carl Friedrich Gauß schon als kleiner Junge erkannt hat, ist die Summe der Zahlen von 1 bis 100 das 50-fache von 101 (nämlich von 1 + 100 = 2 + 99 = ... = 50 + 51), also 5050.

Nach dem gleichen Schema geht es mühelos weiter: