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Hemmes mathematische Rätsel: Quadrat und Kreis

In welchem Verhältnis teilt der Kreisumfang die linke und die rechte Seite des Quadrates?
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Manfred Pietsch vom Stiftischen Gymnasium in Düren in Nordrhein-Westfalen hat 2015 eine Knobelei aus der elementaren Geometrie erdacht.

Ein Kreis läuft durch die beiden unteren Ecken eines Quadrates und berührt dessen obere Seite. Die obere Quadratseite wird durch den Kreisumfang im Verhältnis 1:1 geteilt. In welchem Verhältnis teilt der Kreisumfang die linke und die rechte Seite des Quadrates?

Das Quadrat ABCD setzt sich zusammen aus dem Rechteck ABEF mit den Seitenlängen a und b haben und dem Rechteck CDEF mit den Seitenlängen a und c. Für das rechtwinklige Dreieck EHM gilt nach dem Satz des Pythagoras r2 = (a2)2 + (b2)2.

Die Strecke MG ist ein Radius des Kreises, woraus sich dann r + b2 = a ergibt. Dies lässt sich zu r = a − b2 oder r2 = (a − b2)2 oder r2 = a2 − ab + b2⁄4 umformen.

Setzt man den Ausdruck in die Gleichung für das Dreieck EHM ein, erhält man a2 − ab + b2⁄4 = (a2)2 + (b2)2, was sich zu b = 34a vereinfachen lässt. Somit hat c die Länge 14a. Der Kreisumfang teilt folglich die linke und die rechte Quadratseite im Verhältnis 1:3.

Quadrat und Kreis

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