Quadratische Geldbeträge
Hanni und Nanni haben n Schafe verkauft und für jedes n Euro bekommen, und zwar in weniger als zehn 1-Euro-Münzen und den Rest in 10-Euro-Scheinen. Hanni nimmt sich einen Schein, dann Nanni usw., den letzten Schein nimmt Hanni und bietet Nanni alle Münzen zum Ausgleich an, aber Nanni will mehr Geld, damit es gerecht zugeht. Wieviel?
Hängt der fehlende Betrag überhaupt von n ab, wenn Hanni den letzten Schein nimmt?
Wenn Nanni den letzten Schein bekommen hat, muss es insgesamt eine ungerade Anzahl von 10-Euro-Scheinen sein. Also ist die Zehnerstelle von n2 ungerade. Daraus folgt, dass n2/20 einen Rest über 9 hat. Wenn wir n in Einer und Zehner zerlegen, haben wir n = 10z + e und n2 = 100 z2 + 20 ze + e2. Der gesuchte Rest hängt also nur von e ab. Von den Zahlen e = 0 bis 9 haben nur die 4 und die 6 die Eigenschaft, dass e2/20 einen Rest größer als 10 hat, und dieser Rest ist in beiden Fällen 16. Also muss Nanni 8 Euro statt der vorhandenen 6 bekommen, damit es gerecht ist.
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