Quasi-Kuboktaeder
Das Kuboktaeder hat 12 Ecken, 24 Kanten und 14 Flächen, nämlich 6 Quadrate und 8 Dreiecke, das gibt die Euler-Charakteristik 12 + 14 – 24 = 2, wie es für konvexe Polyeder sein muss.
Man kann das Kuboktaeder durch vier verschiedene ebene Schnitte entzweischneiden dergestalt, dass jeder Schnitt nur Kanten trifft. Die Schnittfläche ist in jedem Fall ein regelmäßiges Sechseck. Wie sieht es aus, wenn man diese Sechsecke als Seitenflächen eines Körpers auffasst, ohne Rücksicht darauf, dass sie sich durchdringen (und ohne ihre Schnittlinien als Kanten mitzuzählen!), und entweder die Quadrate oder die Dreiecke weglässt (sozusagen als offene Fenster)? Was ergibt dann die Euler-Charakteristik "Ecken plus Flächen minus Kanten"? Treffen sich dann trotzdem noch an jeder Kante genau zwei Flächen? Was trifft sich an den Ecken?
Die Dreiecke sind hier schwarz gefärbt, die Sechsecke blau, grün, gelb und rot.
Die Kanten und Ecken sind natürlich dieselben wie zuvor, und es treffen sich an jeder Kante immer noch zwei Flächen. An jeder Ecke treffen sich nun zwei Dreiecke abwechselnd mit 2 Sechsecken (statt mit 2 Quadraten). Die Ecken-Belegung ist also 3-6-3-6 (für das Kuboktaeder ist sie 3-4-3-4). Die Euler-Charakteristik ist nun wegen der 8 Dreiecke und 4 Sechsecke 12 + 12 – 24 = 0 (!). So richtig konvex ist das Ding ja auch nicht mehr.
Man kann das Gebilde (das "Oktahemioktaeder") auch als 8 mit Kanten aneinanderhängende massive Tetraeder auffassen oder auch als ein Kuboktaeder, aus dem einwärts bis zum Mittelpunkt 4-zähligen Pyramiden ausgeschnitten sind.
Hier sind die Quadrate schwarz angemalt, die Sechsecke sind wieder blau, grün, gelb und rot, wobei wir auf das rote annähernd frontal blicken. Das sieht bloß deswegen nicht so aus, weil die drei anderen Sechsecke das rote beim Blick durch Zentraldreieck vollständig verdecken. An jeder Kante treffen sich ein Quadrat und ein Sechseck, an jeder Ecke abwechselnd zwei Quadrate und zwei Sechsecke: 4-6-4-6. Da es 4 Sechsecke und 6 Quadrate gibt, aber nach wie vor 24 Kanten und 12 Ecken, ist die Euler-Charakteristik 10 + 12 – 24 = –2 (!), also um 4 kleiner als beim Kuboktaeder (denn das hat ja 14 Flächen).
Auch dieses Gebilde (das "Kubohemioktaeder") kann man als eine Zusammenkettung von Pyramiden deuten, und zwar von sechs 4-zähligen, die mit Dreiecksseiten aneinander hängen, und andererseits als ein Kuboktaeder, aus dem 8 bis zur Mitte reichende Tetraeder ausgeschnitten sind.
Der Kollege dieses Körpers, bei dem die Quadrate statt der Dreiecke übriggeblieben sind, heißt "Kubohemioktaeder". Beide gehören zur großen Familie der "uniformen Polyeder".
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