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Quasi regulär

Dreiecke und FünfeckeLaden...

Wie sieht ein Polyeder aus 20 Dreiecken und 12 Fünfecken (allesamt regelmäßig) aus?

Es gibt zwei solche Polyeder (unter den konvexen). Bei dem mit der höheren Symmetrie sind alle Kanten gleich: Sie sind nicht nur gleich lang, sondern grenzen auch an die gleichen Sorten von Flächen.

Wenn alle 60 Kanten die gleichen Rollen spielen sollen, müssen sie jeweils zwischen einem Dreieck und einem Fünfeck liegen. An allen 30 Ecken treffen gleichermaßen die Flächen in der Reihenfolge 3-5-3-5 (Dreieck-Fünfeck-Dreieck-Fünfeck) zusammen. Jedes der 20 Dreiecke grenzt an drei Fünfecke, und jedes der 12 Fünfecke an fünf Dreiecke.

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Das Polyeder ist ein "Ikosidodekaeder", denn es ist sowohl als Stumpf eines Ikosaeders, als auch eines Dodekaeders vorzustellen. Dabei muss man jeweils so große Pyramiden an den Ecken abschneiden, dass von den Kanten nur noch die Mittelpunkte als neue Ecken übrig bleiben. Die 30 Ecken sind also die Mitten der 30 Kanten des Ikosaeders oder des Dodekaeders.

Die Gleichartigkeit aller Ecken und Gleichheit aller Kantenlängen macht das Ikosidodekaeder (kurz: 3535) zu einem archimedischen (halbregulären) Polyeder, das heißt einem konvexen Polyeder mit regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen, dessen Ecken alle untereinander kongruent sind. (Das wiederum heißt: Jede Ecke mitsamt den an ihr hängenden Flächen ist kongruent zu jeder anderen Ecke mitsamt den an dieser hängenden Flächen.) Alle archimedischen Körper haben eine Umkugel und eine Kantenberührkugel. Es gibt 13 von ihnen, abgesehen von den abzählbar unendlich vielen Prismen und Antiprismen (jeweils mit gleichen Kantenlängen), die diese Eigenschaften teilen.

Die Eigenschaft, dass die Kanten nicht nur gleich lang sind, sondern auch jeweils gleichartige Nachbarn haben, hebt das Ikosidodekaeder – gemeinsam mit noch einem Polyeder – innerhalb der archimedischen Polyeder etwas hervor: Man nennt diese beiden "quasi-regulär".

Betrachten Sie nun die Kanten: In wie vielen Ebenen liegen sie, und wie kann man das Polyeder damit zu einem weniger symmetrischen umbauen?

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Die 60 Kanten bilden sechs regelmäßige Zehnecke, die jedes den Körper genau halbieren. Jedes Fünfeck hat mit jeweils einer Kante Anteil an fünf dieser Zehnecke, das sechste liegt parallel zu ihm.

Nun kann man die obere oder untere Hälfte des Polyeders um 1/10 einer vollen Drehung verdrehen. Dabei vergeht die Kongruenz aller Ecken, denn es gibt nun zehn Ecken mit der Charakteristik 3-3-5-5 und 20 mit der bisherigen 3-5-3-5. Fünf der Kanten liegen jetzt zwischen je zwei Dreiecken und fünf andere zwischen je zwei Fünfecken. Nur noch die anderen 50 Kanten liegen zwischen je einem Dreieck und einem Fünfeck.

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In Johnsons Liste der konvexen Polyeder aus regelmäßigen Polygonen hat das neue Polyeder die Nummer 34. Eine Hälfte des Polyeders Nummer 34 – oder des Ikosidodekaeders – kann man auch mit einem Zehneck abschließen. Der sich ergebende Körper ist die Fünfecks-Rotunde, Johnson Nr. 6. Sie hat außer diesem Zehneck sechs Fünfecke und zehn Dreiecke.

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Bemerkenswerterweise gibt es ein weiteres Polyeder, das gleichfalls aus zwölf Fünfecken und 20 Dreiecken besteht und bei dem jede Kante an ein Fünfeck und ein Dreieck grenzt. Seine Eckencharakteristik ist 353535, und konvex ist dieser Körper nicht mehr, denn seine Flächen durchdringen sich auf komplizierte Weise, derart, dass von den Fünfecken nur noch kleine Teile von außen zu sehen sind. Es handelt sich um das uniforme Polyeder mit dem zungenbrecherischen Namen "großes ditrigonales Ikosidodekaeder".

Großes ditrigonales IkosidodekaederLaden...

Es bleibt noch die Frage nach dem anderen der beiden quasi-regulären Polyeder. Es ist ganz analog, aber gewissermaßen kleiner.

So wie das Ikosidodekaeder ein Stumpf vom Ikosaeder oder vom Dodekaeder ist, ist das Kuboktaeder der Stumpf des Oktaeders oder des Würfels, und zwar wieder mit dem Abschneiden bis zur Mitte der Kanten. Es besteht also aus acht Dreiecken und sechs Quadraten, hat zwölf Ecken und 24 Kanten:

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Es ist quasi-regulär, denn alle seine Kanten liegen zwischen einem Dreieck und einem Viereck. Sie bilden vier regelmäßige Sechsecke. An einem davon kann man die obere gegen die untere Hälfte um 1/6 des Vollwinkels verdrehen und bekommt dann die dreizählige Doppelkuppel mit der Johnson-Nummer 27:

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Die einfache dreizählige Kuppel hat bei Johnson die Nummer 3.

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