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Hemmes mathematische Rätsel: Quersummen und Überträge

Die Quersummen von x und y sind 43 und 68. Bei der Rechnung x+y=z entsteht in 5 Spalten jeweils ein Übertrag. Was ist die Quersumme von z?
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Der US-Amerikaner Solomon Wolf Golomb wurde 1932 in Baltimore geboren und starb 2016 in Los Angeles. Er studierte Mathematik, promovierte 1957 und war Professor für Elektrotechnik an der University of Southern California. Golomb ist einer der kreativsten Denksportaufgabenerfinder der USA. Sein größter Erfolg waren die Polyominos, eine ganze Klasse von Zusammensetzspielen aus quadratischen Plättchen, die er als 22-jähriger Student erfand und über die er 1965 ein Buch schrieb. Später stellte sich dann jedoch heraus, dass sie schon 30 Jahre vorher unter anderen Namen bekannt waren, aber in Vergessenheit gerieten, und er sie nur unabhängig davon entdeckt hatte. Er entwickelte auch die bekannten, nach ihm benannten Golomb-Lineale, die in der Nachrichtentechnik eine große Rolle spielen. Golomb schrieb über viele Jahre eine ganze Reihe von Kolumnen über Unterhaltungsmathematik. Im Herbst 1971 veröffentlichte er im »Pi Mu Epsilon Journal« das folgende, leicht gekürzte Gespräch.

Ted: »Die beiden positiven ganzen Zahlen x und y haben die Summe z. Die Quersummen von x und y sind 43 und 68. Wie groß ist die Quersumme von z?«
Fred: »Mir fehlen noch Informationen.«
Ted: »Du hast Recht. Wenn ich x und y schriftlich addiere, entsteht nur in fünf Spalten jeweils ein Übertrag.«

Wie groß ist die Quersumme von z?

Wenn es bei einer schriftlichen Addition in einer Spalte keinen Übertrag gibt, ist dort die Summe der Ziffern kleiner als 10. Gäbe es bei der schriftlichen Addition von x und y in keiner Spalte einen Übertrag, wäre darum die Quersumme von z gleich der Summe der Quersummen von x und y, also 43 + 68 = 111.

Da nur zwei Zahlen addiert werden, kann die Summe einer Spalte höchstens 9 + 9 = 18 betragen. Der Übertrag aus einer Spalte in die nächste kann also nur 1 sein. Wenn in einer Spalte die Summe 10 oder größer ist, wird nur der um 10 verringerte Wert in der Spalte notiert und in der links danebenliegenden Spalte ein Übertrag von 1 addiert. Durch einen Übertrag verringert sich also die Quersumme von z um 10 − 1 = 9 und durch fünf Überträge um 5 · 9 = 45. Folglich ist die gesuchte Quersumme von z genau 111 − 45 = 66.

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