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Rätseln mit Eder: Warum ist die Zahl durch 7, 11 und 13 teilbar?

Nehmen Sie eine beliebige dreistellige Zahl und schreiben Sie sie zweimal hintereinander, so dass eine sechsstellige entsteht. Warum ist sie immer durch 7, 11 und 13 teilbar?
Zufällig ausgewählte Zahlen

Man denke sich irgendeine Zahl aus, die aus drei Ziffern besteht (also eine Zahl wie zum Beispiel 256)

Wenn man sie zweimal hintereinander schreibt, ergibt das in diesem Fall die Zahl

256256

Diese neue sechsstellige Zahl, die entsteht, ist immer teilbar durch 7, durch 11 und auch noch durch 13, ohne dass ein Rest bleibt.

256256 : 7 = 36608
256256 : 11 = 23296
256256 : 13 = 19712

Warum ist das immer so?

Erklärung

Wenn eine Zahl zum Beispiel durch 2 und gleichzeitig durch 3 teilbar ist, dann ist diese Zahl auch durch den Produktwert von 2 · 3 = 6 teilbar.

Dies ist ein Grundsatz, der immer gültig ist. Ist eine Zahl durch a und gleichzeitig durch b teilbar, wobei a und b teilerfremd sind, folgt hieraus, dass die Zahl auch durch den Wert von a · b teilbar sein muss.

Die sechsstellige Zahl soll nun durch 7, 11 und 13 teilbar sein. Bildet man das Produkt von 7, 11 und 13 (7 · 11 · 13 = 1001), dann muss 256256 auch durch 1001 teilbar sein. Und das ist sie auch: 256256 : 1001 = 256

Multipliziert man 256 mit 1000, sind die drei letzten Ziffern des Produktwertes Null: 256000

256 · 1001 = 256256 Das Ergebnis erhöht sich bei der Multiplikation mit 1001 um genau 256.

Es liegt also an dem speziellen Wert 1001 = 7 · 11 · 13, dass diese auf den ersten Blick »zauberhafte« Eigenschaft immer gilt.

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