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Raumfüllung?

Treitz-Rätsel

Bei der kubischen Form der dichtesten Kugelpackung sitzen die Kugelmittelpunkte auf den 8 Ecken und den 6 Flächenmittelpunkten eines Würfels. Die zu dem Würfel gehörenden Teile sind 8 Achtelkugeln und 6 Halbkugeln. Sie füllen zusammen etwa 74% des Würfelvolumens.

Andererseits bilden die Mitten von je 4 sich wechselseitig berührenden Kugeln die Ecken eines Tetraeders. Dieses Tetraeder schneidet aus jeder dieser Kugeln ungefähr 1/23 aus. Man kann ausrechnen, dass die 4 Kugelteile 78 % des Tetraedervolumens füllen. Wie löst sich dieser Widerspruch auf?

Wie groß mag die Raumausfüllung eines unendlich großen Kristalls mit dichtester Kugelpackung sein?

Den unbegrenzt großen Kristall kann man lückenlos in Würfel zerlegen, nicht aber in regelmäßige Tetraeder. Damit liefert der Würfel die Raumerfüllung des "unendlichen" Kristalls (also 74%), das Tetraeder mit seinen 78% aber nicht.

Dass man den Raum in unregelmäßige Tetraeder zerlegen kann, sieht man z. B. an der möglichen Zerlegung des Würfels in 6 Tetraeder, die aber mit den regelmäßigen nur die Eckenzahl (usw.) gemeinsam haben.

Dass das regelmäßige Tetraeder 4/22,8 Kugeln an seinen Ecken ausschneidet, kann man mit dem Seiten-Cosinus-Satz und der Flächenformel des Kugeldreiecks herausbekommen.

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