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Hemmes mathematische Rätsel: Rollende Baumstämme

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Der US-amerikanische Mathematiker Eugene P. Northrop wurde 1908 in Danbury in den USA geboren. Er lebte eine Zeitlang in Istanbul, bevor er in den USA Mathematik studierte und danach an verschiedenen Schulen und Universitäten lehrte. 1960 zog er wieder in die Türkei zurück. Er starb 1969 im Alter von nur 61 Jahren. 1944 schrieb Northrop einen Klassiker der Unterhaltungsmathematik mit dem Titel »Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes«, aus dem das heutige Rätsel stammt.

Bevor das Rad erfunden wurde, haben die Menschen schwere Lasten, wie zum Beispiel die riesigen Steine, aus denen die ägyptischen Pyramiden gebaut wurden, auf Rollen aus Baumstämmen transportiert. Mehrere gleich dicke Stämme rollten nebeneinander über den Boden, und auf ihnen lag der Stein. Wie weit wird die Last nach rechts bewegt, wenn sich die Stämme, die einen Durchmesser von 30 Zentimetern haben, einmal um die eigene Achse gedreht haben?

Wir ändern das eigentliche Problem zunächst einmal ein wenig ab. Die Baumstämme, die den Durchmesser d haben, sind diesmal auf festen Achsen an einer Wand montiert. Sie können sich zwar frei drehen, kommen allerdings nicht vom Fleck. Auf den Baumstämmen liegt eine Last, und von unten wird auch eine Last gegen die Stämme gedrückt. Wenn sich die Stämme nun drehen, schieben sie bei einer Umdrehung um die eigene Achse die obere Last um eine Strecke nach rechts, die gleich ihrem Umfang U = πd ist. Die untere Last wird gleichzeitig um die gleiche Strecke nach links geschoben. Das heißt, die obere und die untere Last haben sich bei einer Umdrehung um zwei Stammumfänge 2πd auseinanderbewegt.

Rollende Baumstämme

Kommen wir nun zum eigentlichen Problem. Dort ist ein fester Boden unter den Stämmen, also ist die »untere Last« unbeweglich, aber die Stämme selbst können rollen. Trotzdem ändert sich an den Verhältnissen der Stämme und der oberen und unteren Last zueinander nichts. Das heißt, die obere Last hat sich bei einer Umdrehung der Stämme um zwei Umfänge 2πd ≈ 188,49 cm gegenüber dem Boden nach rechts verschoben.

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