Hemmes mathematische Rätsel: Rolltreppe
Martin Gardner wurde 1914 in Tulsa in Oklahoma geboren und schrieb über 25 Jahre lang für das amerikanische Wissenschaftsmagazin »Scientific American« die Kolumne »Mathematical Games«, in der er unterhaltsam über die Mathematik berichtete, mathematische Spielereien und Knobeleien vorstellte und den Lesern Rätsel zu lösen gab. Gardner wurde weltbekannt, und Monat für Monat lasen Hunderttausende begeistert seine Kolumne. Seines Artikel wurden zu mehr als einem Dutzend Bücher zusammengefasst und in vielen Sprachen zu Bestsellern. Am 22. Mai 2010 starb Gardner im Alter von 95 Jahren. Im Mai 1959 veröffentlichte er folgendes Rätsel:
Ein Mathematikprofessor steigt gedankenverloren und langsam eine sich abwärts bewegende Rolltreppe herunter und erreicht das Ende nach 50 Stufen. Dort bemerkt er, dass er seinen Koffer vergessen hat und rennt dieselbe Rolltreppe wieder aufwärts. Nach 125 Stufen kommt er oben an. Angenommen, der Professor ist in der Zeit, in der er auf dem Hinweg eine Stufe herabgestiegen ist, auf dem Rückweg fünf Stufen hinaufgestiegen und die Rolltreppe hat die ganze Zeit über dieselbe Geschwindigkeit gehabt. Wie viele Stufen wären sichtbar, wenn die Rolltreppe stehenbliebe?
Die Zahl der Stufen, die bei der stillstehenden Rolltreppe sichtbar sind, nennen wir N, und die Zeit, die der Professor für das Herabsteigen einer Stufe benötigt, wählen wir als Zeiteinheit. Wenn der Professor auf der sich abwärts bewegenden Rolltreppe abwärts geht und dabei 50 Stufen betritt, geraten am unteren Ende N − 50 Stufen in 50 Zeiteinheiten außer Sicht. Pro Zeiteinheit verschwinden also (N − 50)/50 Stufen im Boden. Während der Professor die Rolltreppe wieder hinaufrennt, tritt er auf 125 Stufen und benötigt dafür, weil er jetzt fünfmal so schnell ist, 125/5 = 25 Zeiteinheiten. Während dieser Zeit geraten 125 − N Stufen am unteren Ende der Treppe außer Sicht, also (125 − N)/25 pro Zeiteinheit. Da die Rolltreppe eine konstante Geschwindigkeit hat, muss (N − 50)/50 = (125 − N)/25 sein. Löst man die Gleichung nach N auf, erhält man die Stufenzahl 100.
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