Hemmes mathematische Rätsel: Rot und weiß
Mathematikwettbewerbe für Kinder und Jugendliche, Mathematikolympiaden genannt, haben in Osteuropa eine lange Tradition, die weit in die Zeit des Warschauer Pakts zurückreicht. Die Kinder werden in Mathematikklubs, die es in jeder größeren Stadt gibt, für die Teilnahme an diesen Olympiaden systematisch trainiert. Die erste internationale Mathematikolympiade fand 1959 in Brasov in Rumänien statt. An ihr nahmen 52 Schüler aus den sieben Ländern Bulgarien, Tschechoslowakei, DDR, Ungarn, Polen, Rumänien und der UdSSR teil. Das heutige Rätsel stammt aus der estnischen Mathematikolympiade des Jahres 1996/97.
Die 99×99 Felder eines riesengroßen Schachbretts sind rot und weiß gefärbt, allerdings in einer ganz anderen Weise als bei einem gewöhnlichen Schachbrett. Jedes rote Feld, das kein Randfeld des Bretts ist, hat genau fünf weiße Nachbarn und jedes weiße Feld, das kein Randfeld ist, hat genau vier rote Nachbarn. Dabei zählen als Nachbarn eines Felds alle Felder, die eine gemeinsame Kante oder Ecke mit diesem haben. Wie viele rote Felder hat dieses Schachbrett mindestens?
Wir verallgemeinern das Schachbrett auf eine Größe von 3N×3N Feldern und zerlegen es in N2 Quadrate von 3×3 Feldern.
Wenn das Mittelfeld eines solchen Quadrats rot ist, müssen fünf seiner Randfelder weiß und folglich die anderen drei rot sein. Das Quadrat besteht also aus vier roten und fünf weißen Feldern. Wenn das Mittelfeld eines solchen Quadrats jedoch weiß ist, müssen vier Randfelder rot und vier Randfelder weiß sein. Auch in diesem Fall besteht das Quadrat aus vier roten und fünf weißen Feldern. Ein 3N×3N-feldiges Schachbrett dieser Art besitzt folglich genau 4N2 rote und 5N2 weiße Felder. Das 99×99-feldiges Schachbrett aus der Aufgabe hat folglich 4356 ,rote Felder. Dass eine solche Anordnung von roten und weißen Felder überhaupt möglich ist, zeigt das Beispiel.
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