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Satz von Miquel

Treitz-Rätsel

Beweisen Sie: Ist \(A'\) irgendein Punkt auf der Seite \(BC\) eines Dreiecks, entsprechend \(B'\) auf \(AC\) und \(C'\) auf \(AB\), so schneiden sich die Kreise durch \(A\), \(B'\) und \(C'\), durch \(A'\), \(B\) und \(C'\) sowie durch \(A'\), \(B'\) und \(C\) in genau einem Punkt.

Zum Beweis dürfen Sie als bekannt voraussetzen, dass ein (ebenes) Viereck genau dann einen Umkreis hat, wenn jeweils zwei einander gegenüberliegende Winkel die Summe 180o haben.

Wir zeichnen zunächst zwei der drei genannten Kreise. Die schneiden sich nach Konstruktion auf einer Dreiecksseite und müssen einen weiteren Schnittpunkt im Inneren des Dreiecks haben. Nennen wir ihn – etwas voreilig, aber nicht verboten – Miquel-Punkt. Dessen Verbindungen zu den Teilungspunkten \(A'\) usw. zerlegen das Dreieck in die drei verschieden getönten Vierecke, von denen zwei Umkreisvierecke sind (nämlich die zu den bereits gezeichneten Kreisen). Aus den Winkelsummen (um den Miquel-Punkt und an den Ecken des Dreiecks) folgt dann, dass das dritte Viereck auch ein Umkreisviereck ist, dass also der dritte Kreis durch den Miquel-Punkt geht.

Beachten Sie, dass ein Dreieck nicht nur einen solchen Punkt hat, sondern für jede Auswahl von Teilungspunkten der Seiten einen anderen.

Können Sie nun auch noch zeigen, dass das Dreieck aus den Mittelpunkten der drei Kreise zum Ausgangs-Dreieck \(ABC\) ähnlich ist?

Lösung: Nehmen Sie einfach die anderen Winkelsummen in den gleichen Umkreis-Vierecken.

Die (blauen) Verbindungen des Miquel-Punktes mit den Teilungspunkten der Seiten schneiden diese Seiten mit den gleichen Winkeln (wegen der sich zu 180o ergänzenden Winkel in den Umkreis-Vierecken, und zwar sind jetzt jeweils die anderen Eckenpaare dran als im vorigen Teil). Da die (grünen) Verbindungen zwischen den Kreismittelpunkten jeweils die (blauen) Sehnen rechtwinklig schneiden, haben die beiden in Frage stehenden Dreiecke die gleichen Winkel und sind daher ähnlich zueinander.

Auguste Miquel (um 1816 – 1851) hat den nach ihm benannten Satz (über den gemeinsamen Schnittpunkt der drei Kreise) 1838 gefunden. Die Aussage über die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke habe ich bei Posamentier/Salkind (Nr. 6.15) gefunden.

Die übliche Redeweise von "dem Miquel-Punktes eines Dreiecks" in Analogie zu "dem Spieker-Punkt" oder "dem Feuerbach-Punkt" etc. ist ziemlich irreführend, da ein Dreieck nur einen Spieker-Punkt (Schwerpunkt der Kanten) und nur einen Feuerbach-Punkt (Berührpunkt von Inkreis und Neun-Punkte-Kreis) hat, aber ausgesprochen viele Miquel-Punkte.

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  • Quellen
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry. Dover Publications, New York 1996

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