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Satz von Napoléon

Treitz-Rätsel

Um ein (gelbes) Dreieck werden drei (grüne) gleichseitige Dreiecke gelegt. Ihre Mittelpunkte werden zu dem (rot gezeichneten) Dreieck verbunden. Es wird behauptet, dass dieses gleichseitig sei (Satz von Napoléon).

Wir zeichnen die Umkreise um die grünen Dreiecke. Jeder dieser Umkreise geht nach Konstruktion durch zwei Ecken des gelben Dreiecks. Ein Punkt auf diesem Umkreis, der im Inneren des gelben Dreiecks liegt, bildet mit diesen Eckpunkten den Winkel 120o (Satz vom Umfangswinkel).

Im Schnittpunkt von zwei solchen Kreisbögen sieht man also 120o zwischen einer Ecke und der nächsten und auch zwischen dieser und der übernächsten. Für den dritten Winkel bleiben somit ebenfalls 120o übrig, und der Punkt liegt daher auch auf dem dritten Kreis.

Dieser Schnittpunkt der drei Umkreise heißt Fermat-Punkt. Er ist die Lösung eines interessanten Optimierungsproblems: Die Summe der Entfernungen von den Ecken des Dreiecks ist minimal (dies allerdings nur, wenn alle Winkel im gelben Dreieck kleiner als 120o sind). Die Verbindungen vom Fermat-Punkt zu den Ecken haben also zwischen sich die gleichen Winkel von je 120o, zugleich schneiden sie auch die roten Verbindungslinien der Kreismittelpunkte rechtwinklig. Daraus folgt sogleich, dass das rote Dreieck gleichwinklig und damit auch gleichseitig ist.

Bisher hatten wir mehr oder weniger klar vorausgesetzt, dass das gelbe Dreieck nur Winkel kleiner als 120o hat. In dem anderen Fall ändert sich nur wenig, der Fermat-Punkt liegt dann außerhalb des Dreiecks (oder im Grenzfall auf desen längster Seite), und statt 120o muss es an einigen Stellen "120o oder 60o" heißen:

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