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Hemmes mathematische Rätsel: Schwarze und graue Socken

Eine Schublade voller schwarzer und grauer Socken. Können Sie berechnen, wie viele es von jeder Sorte gibt?
Nasse Socken auf der Wäscheleine

In Januar des Jahres 2012 veröffentlichte Greg Ross in dem Internetforum »Puzzles, Science & Math« ein Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich habe es leicht verändert.

In einer Schublade eines Wäscheschranks liegen 100 einzelne Socken. Mindestens die Hälfte der Socken ist schwarz und die restlichen sind grau. Greift man, ohne hinzuschauen, in die Schublade und nimmt zwei Socken heraus, so ist die Wahrscheinlichkeit, ein gleichfarbiges Paar zu erwischen, genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, ein verschiedenfarbiges Paar zu bekommen. Wie viele schwarze und wie viele graue Socken liegen in der Schublade?

In der Schublage liegen 100 Socken, von denen S schwarz und G grau sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Socke, die man aus der Schublade nimmt, schwarz ist, beträgt S/100. Von den restlichen 99 Socken in der Schublade sind G Socken grau. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Socke, die man nimmt, grau ist, beträgt somit G/99.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Socke schwarz und die zweite grau ist, hat folglich den Wert S/100 · G/99. Für den umgekehrten Fall, dass man zuerst eine graue und dann eine schwarze Socke zieht, erhält man auf die gleiche Weise die Wahrscheinlichkeit G/100 · S/99. Somit gibt es eine Wahrscheinlichkeit von S/100 · G/99 + G/100 · S/99 dafür, ein verschiedenfarbiges Paar Socken zu erwischen.

Da diese Wahrscheinlichkeit genauso groß sein soll, wie die, ein gleichfarbiges Paar zu erhalten, muss sie 1/2 sein: S/100 · G/99 + G/100 · S/99 = 1/2. Es gibt insgesamt 100 Socken, darum kann man G durch 100 − S ersetzen. Fügt man das in die Gleichung ein, erhält man nach einigen Umformungen S2 − 100S + 2475 = 0. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen S = 45 und S = 55. Da mindestens die Hälfte der Socken schwarz ist, kommt nur der zweite Fall in Frage. In der Schublade liegen also 55 schwarze und 45 graue Socken.

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