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Hemmes mathematische Rätsel: Sechs Räder

Können Sie ermitteln, wie schnell sich Rad F dreht?
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David Wells wurde 1940 in England geboren. Er studierte Mathematik an der Universität Cambridge, brach aber sein Studium ab und ließ sich danach zum Lehrer ausbilden. Er hat zahlreiche Knobeleien erfunden und betreute in den 1970er Jahren die Denksportredaktion der Zeitschrift »Games and Puzzles«. Von 1981 bis 1983 gab er eine eigene Zeitschrift heraus mit dem Titel »The Problem Solver«. Wells hat etliche Bücher zur Unterhaltungsmathematik geschrieben, die zum Teil auch auf Deutsch erhältlich sind. Im März 1975 veröffentlichte er in »Games and Puzzles« folgendes, hier leicht verändertes Problem:

Die sechs Räder A bis F eines Getriebes rollen ohne Schlupf aufeinander ab. Aus der Betriebsanweisung kann man die folgenden Angaben entnehmen:

1. Das Rad A dreht sich mit 50 Umdrehungen pro Minute.
2. Der Durchmesser des Rades F ist zweimal so groß wie der des Rades A.
3. Der Umfang des Rades E ist so groß wie der Durchmesser von F.
4. Die Differenz zwischen den Durchmessern der Räder C und B ist das 7/3-fache des Durchmessers von E.
5. Der Radius des Rades A ist zusammen mit dem doppelten Durchmesser von B und dem dreifachen Durchmesser von D gleich dem Umfang von C.
6. Die Achsen der Räder C, D und E bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.

Wie schnell dreht sich F?

Um dieses Problem zu lösen, muss man nur wissen, wie oft sich das Rad A pro Minute dreht und in welchem Verhältnis die Durchmesser der Räder A und F zueinander stehen. Alle anderen Angaben in der Aufgabe sind überflüssig und hatten ausschließlich den Zweck, Sie zu verwirren.

Wenn zwei Räder ohne Schlupf aufeinander abrollen, so müssen der Berührungspunkt auf dem einen Rad und der auf dem anderen Rad die gleiche Geschwindigkeit haben. Das hat zur Folge, dass jeder Punkt auf beiden Radumfängen gleich schnell ist. Da alle sechs Räder aufeinander abrollen, haben folglich alle Punkte auf allen sechs Radumfängen die gleiche Geschwindigkeit.

Der Durchmesser des Rades F ist doppelt so groß wie der des Rades A, deshalb ist auch der Umfang von F doppelt so lang wie der von A. Folglich braucht ein Punkt auf dem Umfang von F doppelt so lange für eine Umdrehung wie ein Punkt auf dem Umfang von A. Das Rad F hat also eine Drehzahl von 25 Umdrehungen pro Minute.

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