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Hemmes mathematische Rätsel: Seltsame Würfel

WürfelLaden...

Die beiden österreichischen Mathematiker Richard Mischak (* 1948) und Gerd Baron (* 1940) lösen mit Begeisterung mathematische Rätsel und Probleme. Seit vielen Jahren schon geben sie ihre Begeisterung an Schulkinder weiter in Seminaren, die sie Jagd auf Zahlen und Figuren nennen. Bei dieser Jagd dürfen die Kinder mit der Mathematik spielen. Sie sollen kreative Lösungsansätze finden und nicht unbedingt anwendbares Wissen lernen. Die Jagd begann 1996 in Wien, und fand schon bald auch in anderen Städten und Ländern statt. 2018 hat die Jagd noch immer nicht geendet. Die Jagd auf Zahlen und Figuren gibt es auch im Internet. Dort findet man auch jeden Monat ein neues Rätsel, jedes Vierteljahr eine schwierige Knobelei und jeden Dezember einen mathematischen Adventskalender. Unser heutiges Rätsel ist die Zahlenjagd-Knobelei vom Frühling 2017 und wurde von Richard Mischak erdacht.

In einer Schachtel liegen 15 Würfel. Auf jeder Seite jedes Würfels steht eine positive ganze Zahl. Die Zahlen brauchen nicht unbedingt verschieden zu sein. Für jedes beliebige Paar aus dieser Schachtel gibt es nur eine einzige Zahl, die sowohl auf dem einen, als auch auf dem anderen Würfel vorkommt. Außerdem steht diese Zahl auf beiden Würfeln jeweils nur einmal. Wie groß ist die kleinstmögliche Summe aller Zahlen auf allen Würfeln?

Die Summe aller neunzig Zahlen auf den Seiten der fünfzehn Würfel wird so klein wie möglich, wenn möglichst viele kleine Zahlen möglichst häufig auftreten. Die kleinste Zahl ist 1. Ist dies die Zahl, die bei allen Paaren sowohl auf dem einen, als auch auf dem anderen Würfel vorkommt, kann sie insgesamt fünfzehnmal auftreten. Ansonsten darf keine weitere Zahl auf mehr als einem Würfel erscheinen. Dies führt als Minimallösung zu den Würfelbeschriftungen (1, 2, 2, 2, 2, 2), (1, 3, 3, 3, 3, 3), (1, 4, 4, 4, 4, 4, 4), … und (1, 16, 16, 16, 16, 16). Die Summe aller dieser Zahlen beträgt 15 • 1 + 5 • (2 + 3 + 4 + … + 16) = 690.

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