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Serviettenring

Serviettenringe

Ein Serviettenring aus Kunststoff hat eine Form, wie sie entsteht, wenn man mit einem (dicken) zylindrischen Bohrer ein Loch mitten durch eine Kugel bohrt. Sie ist also außen durch eine Kugelzone und innen durch einen Zylindermantel begrenzt.

Nur die Höhe ist bekannt. Wie groß ist das Volumen?

Die Aufgabe scheint unterbestimmt zu sein! Nehmen Sie bitte an, dass das Volumen nur durch die Höhe bestimmbar ist. So ist es auch; Sie können das Volumen allein durch die Höhe bestimmen. Sie brauchen keine weiteren Angaben. Beachten Sie, dass es einen interessanten Extremfall gibt.

Der Extremfall besteht darin, dass die Bohrung den Radius 0 hat, es kommt dann einfach das Volumen der Kugel mit der halben Höhe als Radius heraus.

Das ist natürlich noch kein Beweis. Für diesen müssen wir (wenn wir Integralrechnung vermeiden wollen) das Cavalieri-Prinzip benutzen.

Beweis

Serviettenringe (Schnitt)

Wir wollen beweisen, dass der Serviettenring das gleiche Volumen hat wie eine Kugel mit dessen Höhe \(2h\) als Durchmesser. Unten im Bild sind beide im Längsschnitt zu sehen, darüber umgeklappte Schnitte durch (je) eine Ebene, die in einem beliebig wählbaren Abstand \(y\) (nicht größer als \(h\)) von den Kugelmittelpunkten rechtwinklig zur Drehachse liegt.

Wenn wir den Durchmesser des zylindrischen Bohrloches \(2b\) nennen, hat der Serviettenring den Kugelradius \(R = \sqrt{h^2+b^2}\).

Nun wenden wir mehrmals den pythagoreischen Satz an und finden, dass der Kreisring links oben im Bild die Fläche \(\pi(z^2-b^2)=\pi (R^2-y^2-b^2) \) hat und der Kreis rechts oben \( \pi(h^2-y^2) \), was aber das Gleiche ist.

Somit haben beide Figuren (bei dieser Lage zueinander) in jeweils gleichen Schichthöhen gleich große Schnittflächen, und daraus folgern wir mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Volumina gleich sind.

© Norbert Treitz
Serviettenringe gleichen Volumens
Hier verwandelt sich ein Serviettenring kontinuierlich von einer Kugel in einen Ring gleicher Höhe und daher (!) auch gleichen Volumens.
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
Dasselbe in Stereo
Hinweis zu unseren Stereo-bildern/-movies: Im Falle des Rot-Grün-Bildes halten Sie das rote Glas vor das linke Auge und das grüne Glas vor das rechte Auge. Im Falle des dreiteiligen Stereobildes ist das mittlere Bild für das linke Auge bestimmt, mit dem rechten Auge können Sie nun wahlweise auf das rechte oder linke Teilbild schauen ("Parallelschielen" bzw. "Überkreuzschielen"). Das erfordert anfangs ein bisschen Übung.

Natürlich kann man die Aufgabe auch mit Integralrechnung oder mit der Formel für die Kugelkalotte (die üblicherweise mit der Integralrechnung gewonnen wird) lösen, aber man muss ja nicht gleich den großen Hammer nehmen, wenn man etwas auch mit Fingerspitzen erledigen kann.

Lesermeinung

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  • Quellen
Die Aufgabe wurde 1932 von Samuel I. Jones in seinem Buch "Mathematical Nuts" gestellt. John W. Campbell hat später darauf hingewiesen, wie man das Volumen berechnen kann, wenn man auf die unbewiesene Behauptung vertraut (Quelle diesbezüglich: Heinz Haber (Hg.): Mathematisches Kabinett, dtv, ISBN 3–423–10121–0, dort kommt man nicht ohne Kalottenformel aus).

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