Der Extremfall besteht darin, dass die Bohrung den Radius 0 hat, es kommt dann einfach das Volumen der Kugel mit der halben Höhe als Radius heraus.

Das ist natürlich noch kein Beweis. Für diesen müssen wir (wenn wir Integralrechnung vermeiden wollen) das Cavalieri-Prinzip benutzen.

Beweis

Wir wollen beweisen, dass der Serviettenring das gleiche Volumen hat wie eine Kugel mit dessen Höhe \(2h\) als Durchmesser. Unten im Bild sind beide im Längsschnitt zu sehen, darüber umgeklappte Schnitte durch (je) eine Ebene, die in einem beliebig wählbaren Abstand \(y\) (nicht größer als \(h\)) von den Kugelmittelpunkten rechtwinklig zur Drehachse liegt.

Wenn wir den Durchmesser des zylindrischen Bohrloches \(2b\) nennen, hat der Serviettenring den Kugelradius \(R = \sqrt{h^2+b^2}\).

Nun wenden wir mehrmals den pythagoreischen Satz an und finden, dass der Kreisring links oben im Bild die Fläche \(\pi(z^2-b^2)=\pi (R^2-y^2-b^2) \) hat und der Kreis rechts oben \( \pi(h^2-y^2) \), was aber das Gleiche ist.

Somit haben beide Figuren (bei dieser Lage zueinander) in jeweils gleichen Schichthöhen gleich große Schnittflächen, und daraus folgern wir mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Volumina gleich sind.

Natürlich kann man die Aufgabe auch mit Integralrechnung oder mit der Formel für die Kugelkalotte (die üblicherweise mit der Integralrechnung gewonnen wird) lösen, aber man muss ja nicht gleich den großen Hammer nehmen, wenn man etwas auch mit Fingerspitzen erledigen kann.