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Sierpinski-Tetraeder

Treitz-Rätsel

Denken Sie sich ein reguläres Tetraeder, also eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und vier gleichseitigen Dreiecken als Außenflächen (insgesamt 4 Ecken). Nun werden parallel zu jeder Seite in halber Höhe Zwischenwände eingezogen, und das von diesen umgrenzte Innenstück wird entfernt. Kann man es einfach herausziehen, oder muss man es vorher zerbröseln? Wie sehen die übrig bleibenden Eckstücke aus, und wie hängen sie zusammen?

Wie ändert sich das Volumen, wie ändern sich die Anzahlen der Ecken, Kanten und Flächen, wie ändern sich die Summen der Kantenlängen und der Flächeninhalte?

Nun wird die gleiche Operation an den verbleibenden Stücken ausgeführt, und zwar mit unendlich weit gehender Verfeinerung. Beantworten Sie die entsprechenden Fragen für diese Schritte und für das im Grenzfall entstehende Fraktal, das in Analogie zu Sierpinskis Dreieck als Sierpinski-Tetraeder bezeichnet werden kann.

Die ersten Verfeinerungsstufen sehen so aus (die erste Gruppe Videos für die Rot-Grün-Brille, die zweite zum Schielen):

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Der herausgeschnittene Kern ist jeweils ein Oktaeder (und nicht etwa ein Tetraeder, wie sogar in einem Buch über deterministisches Chaos zu lesen war), und es kann nicht ohne Zerstörung herausgenommen werden. Es bleiben vier an einigen ihrer Ecken aneinanderhängende Tetraeder übrig mit der halben Kantenlänge, also je 1/8 des Volumens, vom ganzen Volumen ist somit genau die Hälfte geblieben.

Die neu eingezogenen Zwischenwände und die mit dem auswandernden Oktaeder weggehenden Wandstücke heben sich in der Bilanz genau auf: die gesamte Oberfläche bleibt gleich, aber sie teilt sich in die 4-fache Zahl von (kleineren) Dreiecken. Man kann sich auch vorstellen, dass von jeder Außenfläche das mittlere Viertel nach innen geklappt wird.

Statt 6 langer Kanten gibt es 24 halb so lange, die Zahl hat sich also vervierfacht, die Gesamtlänge verdoppelt.

Alles dies wiederholt sich bei jedem Verfeinerungsschritt: das Volumen halbiert sich jedesmal gegen 0, die Oberfläche bleibt konstant, die Gesamt-Kantenlängen verdoppeln sich gegen Unendlich.

Auch die Zahl der Ecken wird immer größer, aber nicht um einen konstanten Faktor, sondern jeweils additiv um 6·4n, wobei n die Nummer der Verfeinerungsstufe ist (n=0 für das Original-Tetraeder).

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