Hemmes mathematische Rätsel: Silo princeps fecit
Silo, ein Zeitgenosse Karls des Großen, war von 774 bis 783 König von Asturien, einem kleinen Reich im Nordwesten Spaniens. Er ließ in Asturiens Hauptstadt Santianes, wie es auch Karl der Große in Aachen machte, eine Kirche bauen. Beide Herrscher wurden nach ihrem Tod in ihren Kirchen begraben. Am Eingangsportal von Silos Kirche hängt eine Kalksteintafel, die durch eingeritzte Linien in 19×15 quadratische Felder unterteilt ist und in denen jeweils ist ein Buchstabe eingraviert wurde.
Auf dem ersten Blick scheint die Tafel ein sinnloses Buchstabenlabyrinth zu sein. Doch schaut man sie sich einmal etwas genauer an und lässt den Blick von dem S, das genau in der Mitte der Tafel steht, von Feld zu Feld bis zu einem T an einer Ecke der Tafel wandern, liest man den lateinischen Satz »Silo princeps fecit«. Er bedeutet »Fürst Silo hat es gemacht« und verrät, wer die Kirche erbaute. Man kann den Satz auf sehr vielen verschiedenen, teilweise mehrfach abgeknickten Wegen von der Mitte der Tafel bis zu den Ecken lesen. Wie viele sind es?
Um vom S in der Mittel der Tafel zum T an der rechten oberen Ecke zu gelangen, muss man insgesamt neun Schritte nach rechts und sieben nach oben gehen. Die Reihenfolge, in der man die 16 Schritte macht, spielt keine Rolle, denn die Buchstaben sind so auf der Tafel angeordnet, dass man stets den Satz »Silo princeps fecit« abschreitet.
Bei 16 verschiedenen Schritten, stehen für den ersten Schritt 16 Möglichkeiten zur Wahl. Für den zweiten Schritt bleiben dann noch 15 Möglichkeiten, für den dritten 14, für den vierten 13 und so weiter. Insgesamt gibt es also 16 · 15 · 14 · 13 · 12 · … · 2 · 1 = 16! Möglichkeiten, 16 verschiedene Schritte anzuordnen.
Nun sind aber die Schritte nicht alle verschieden, denn es gibt nur Schritte nach rechts und Schritte nach oben. Die 9! verschiedenen Reihenfolgen der neun Schritte nach rechts führen alle zur selben Anordnung. Das Gleiche gilt für die 7! Reihenfolgen der sieben Schritte nach oben. Darum hat man bei den 16! Möglichkeiten für die 16 Schritte viele Wege mehrfach gezählt, die man für eine korrekte Zählung wieder herausnehmen muss.
Tatsächlich gibt es nur 16! / (9! · 7!) Möglichkeiten, um vom S in der Mitte der Tafel zum T an der rechten oberen Ecke zu gelangen. Nun steht aber nicht nur an der rechten oberen Ecke der Tafel ein T, sondern auch an jeder der anderen drei Ecken. Dadurch vervierfacht sich die Zahl der Wege vom zentralen S zu einem Eck-T. Insgesamt kam man also den Satz »Silo princeps fecit« 4 · 16! / (9! · 7!) = 45 760-mal auf der Tafel lesen.
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