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Sparsame Flächenfüllung

Treitz-Rätsel

Franca hat einige Münzen auf eine Glasplatte geklebt, die nun in einem Regal schräg gegen die Wand gelehnt ist. Sie kann die Platte auch mit einer der anderen Seiten zuunterst aufstellen und gegen die Wand lehnen.

Das wäre weiter kein Kunststück, aber Franca hat nur wenige Münzen direkt auf das Glas geklebt, die anderen sind nur zwischen ihnen eingeklemmt. Wie viele sind angeklebt? Welcher Teil der Fläche ist von Münzen bedeckt, wenn man das Muster nach allen Seiten unbegrenzt ausdehnt? Vergleichen Sie das auch mit der dichtesten Kreispackung in der Ebene und mit dem Verhältnis aus der Fläche eines Kreises zu der seines Tangentenquadrats (auch "umbeschriebenes Quadrat" genannt).

Wie legt man einen Kreis zwischen drei andere, die ihn berühren, so dass er nicht entwischen kann? Wir nehmen den besonders symmetrischen Spezialfall.

Die Ebene wird hier restlos durch regelmäßige Zwölfecke und doppelt so viele Dreiecke der gleichen Kantenlänge parkettiert, aber die Ecken werden durch Kreise ersetzt, deren jeder drei andere berührt und von denen er eingekeilt ist. Wenn man ein solches Muster außen befestigt, wie hier durch das Ankleben der rötlich gemalten Münzen, so ist es stabil, und auch auf der schrägen Glasplatte kann keine Münze entwischen. Allerdings muss man schon genau arbeiten und darf kein Spiel (im Sinne von Zwischenraum) zulassen.

Für die Bestimmung des Flächenverhältnisses gehen wir von der Parkettierung aus: 1 Zwölfeck und 2 Dreiecke der gemeinsamen Kantenlänge \(a\) (alle regelmäßig, das ist hier ja fast selbstverständlich) haben die Fläche \(6 a^2/\sin(15^\circ)\) + \(a^2\sqrt{(3/4)} = 24,05 a^2\).

In dieser Fläche liegen, wie man mit Winkelsummen leicht überlegen kann, 5,5 Kreisflächen zum Durchmesser \(a\).

Die Münzen bedecken somit knapp 18 % der Fläche.

Legt man die Kreise dagegen in ein quadratisches Raster, bekommt man das Verhältnis aus Kreis und umschriebenen Quadrat, also \(\pi/4\) = 78,54%.

Die dichteste Kreispackung ist natürlich (wie Menschen und Bienen wissen) das Wabenmuster. Dem entspricht eine Parkettierung mit gleichseitigen Dreiecken und Besetzung jeder Ecke mit einem Kreis. Jedes solche Dreieck hat die Fläche \(0,5 a^2\sqrt{(3/4)} = 0,4330 a^2\). Da sich jeder Kreis auf 6 solche Dreiecke verteilt, fällt in jedes Dreieck eine halbe Kreisfläche \(\pi a^2/8\). Bei der dichtesten Kreispackung füllen die Kreise also 90,7 % der Ebene. Das ist etwas mehr als das Fünffache der sparsamsten festen Packung.

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